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Tamiz de Apolonio

Autor:
Javier Cayetano Rodríguez
Tema:
Círculo, Fractales, Sucesiones y Series, Función Tangente
El tamiz de Apolonio (o de Leibniz) es una construcción formada por circunferencias tangentes, basada el problema de Apolonio de construcción de circunferencias tangentes. El proceso para construir el tamiz es el siguiente:
  • Dadas tres circunferencias tangentes entre sí, existen dos circunferencias tangentes comunes.
  • Añadiendo estas nuevas circunferencias, tenemos varios conjuntos de circunferencias tangentes, que tienen a su vez, dos circunferencias tangentes comunes. Una de ellas es nueva, y la otra es de las anteriores.
  • Así sucesivamente, podemos ir añadiendo circunferencias a nuestro conjunto, de forma que siempre van siendo tangentes, obteniendo una figura fractal.

Observa

  • En el primer paso (n=1) se añaden 2 circunferencias: la circunferencia exterior y otra "interior".
  • En el segundo (n=2), se añaden 6 circunferencias: 3 por la exterior y 3 por la "interior".
  • En el tercero (n=3), se añaden 18 circunferencias: 3 por cada una de las 6 anteriores.
  • Así sucesivamente...
Piensa en las siguientes cuestiones:
  1. ¿Podrías decir cuántas circunferencias se añaden en el paso 6? ¿Y en el 10?
  2. ¿Cuál es la fórmula que, para cada paso n indica cuántas circunferencias se añaden?
  3. ¿Cuántas se habrán añadido hasta el paso n?
  4. Considerando las tres circunferencias iniciales, ¿cuántas circunferencias forman el tamiz en el paso n=10?

Reflexiona

  • Fíjate en que, en realidad, muchas circunferencias son muy pequeñas.
  • Además, en los niveles grandes, al haber tantas circunferencias, es posible que nuestro dispositivo no sea capaz de manejar bien tantos datos.
  • Por eso, para poder representar tantas, podríamos ir prescindiendo de calcular las circunferencias tangentes a las que son tan pequeñas que apenas se ven.
Introduciendo esta "poda" en la construcción del tamiz, justifica si se seguirían añadiendo cada vez más circunferencias o si el proceso seguiría siendo infinito.

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