Kopie von Differentialrechnung - Funktionsterm bestimmen - Heuhaufen
Differentialrechnung - Funktionsterm bestimmen - Im Heuhaufen
Das nächste Schäferstündchen im Heuhaufen will gut vorbereitet sein. Die Zutaten sind u.a.:
- ein Heuhaufen
- eine Leiter
- ein Bandmaß
- die Formelsammlung zum Thema Analysis incl. der Differentialrechnung
- ein Taschenrechner
Der Heuhaufen mit einer Höhe von 4m ist gefunden (s. Arbeitsblatt), die genügend lange Leiter auch.
Damit die Leiter sicher angelegt wird, planen wir den Anstellpunkt in einer Höhe von 3m. Die notwendige Standsicherheit geben wir der Leiter, in dem wir die Leiter tangential an den Heuhaufen anlegen. Zum Glück war es nicht der Bauer mit den größten Kartoffeln, der den Heuhaufen aufgebaut hat, sondern einer, der mit der Formelsammlung im Kopf auf dem Felde arbeitet. Dadurch ist diesem Heuhaufen die schöne Form eines Paraboloids gegeben worden, in der Seitenansicht also die Form einer Parabel. Da wir den Winkelmesser zur Vermessung des Anstellwinkels der Leiter nicht dabei haben, überlegen wir uns die einfachere Variante der Aufstellung der Leiter mit dem Bandmaß. Wir berechnen, nachdem wir die quadratische Funktion für die Konturen des Heuhaufens aufgestellt und daraus die Gleichung für die Leiter abgeleitet haben, einfach die Größe x, die den Abstand vom Fußpunkt der Leiter zum Heuhaufen bemisst. Nun können wir die Leiter standfestoptimal besteigen.
Aufgaben
1. Graphische Lösung
a) Mit dem beweglichen Punkt P0 kannst du Funktionswerte der quadratischen Funktion ablesen. Bewege den Punkt P0 in die Nähe des Scheitels.
b) Mit den Schiebereglern für die Koeffizienten a, b und c der quadratischen Funktionsgleichung kannst du den Graphen so einstellen, dass er der Kontur des Heuhaufens entspricht. Beobachte den Einfluss dieser Größen auf das Verhalten des sich verändernden Graphen.
c) Blende die Nullstellen ein. Welche Bedeutung haben diese in Bezug auf x?
d) Blende den Scheitelpunkt S ein. Dieser sollte auf der y-Achse liegen?
Welche Eigenschaft weist damit die Funktion f(x) auf?
Welchen Einfluss hat diese Eigenschaft auf die Koeffizienten b und c?
e) Blende die Tangente ein. Wie lässt sich die Tangentengleichung bestimmen? Wie lässt sich der Fußpunkt der Tangente bestimmen?
2. Mathematischer Teil
Unser Ziel ist die Aufstellung einer allgemeinen Formel zur Berechnung von x in Abhängigkeit von der Höhe hA (=3m) des Anstellpunktes der Leiter, der Gesamthöhe h (=4m) und dem Durchmesser d (=4m) des Heuhaufens.
a) Leite aus der Symmetrieeigenschaft für die Funktion f(x)=a²x+bx+c eine spezielle Form der quadratischen Funktionsgleichung her.
b) Berechne die Nullstellen dieser speziellen Funktionsgleichung.
c) Bilde die erste Ableitung dieser speziellen Funktionsgleichung.
d) Stelle die Tangentengleichung für die Tangente an f(x) im Punkt P0 auf.
e) Berechne den Anstellwinkel α.
f) Berechne die Nullstelle dieser Tangente.
g) Fasse alle diese Ergebnisse in einer einzigen Formel zur Berechnung von x zusammen.
Geschafft. Mit dieser Formel und einem Taschenrechner im Gepäck geht jetzt weniger Zeit für die Vorbereitung der nächsten Schäferstündchen verloren.
3. Rechnerischer Teil
Überprüfe deine konkreten Berechnungen mit den Ergebnissen aus diesem Arbeitsblatt.
Heinz Lindner, Dresden, www.lindner-dresden.de - Analysis www.lindner-dresden.de/analysis.htm