Sætning

Lad cirkel c (lille bogstav) være givet. Lad punkterne A og B ligge på periferien af c, og være forbundet af en korde. Lad nu tillige C (stort bogstav for punkt) og D ligge på periferien således i forhold til punkterne A og B, at korden CD skærer korden AB. Skæringen mellem korden AB og korden CD betegnes E. Vi har dermed opdelt korden AB i to linjestykker, således at AB=AE+BE og vi har tilsvarende opdelt korden CD i to linjestykker, så CD=CE+DE. Da gælder, at produktet af de to stykker af korden AB er ligestort med produktet af de to stykker af korden CD, dvs. at .

Referencer

Euklid Elementer, bog 3 proposition 35 (engelsk version)

Konstruere og bruge figuren

I denne opgave skal du (i) konstruere en cirkel c med to skærende korder AB og CD, der skærer i E; (ii) udmåle længder af alle fire linjestykker, som parvis udgør de skærende korder og (iii) kontrollere, om produktet af stykkerne af korde AB er lige så stort som produktet af stykkerne af korde CD.
  1. Åbn GeoGebra (offline) og vælg Geometri-perspektiv (kun Tegneblok vist).
  2. Opret en Cirkel ud fra tre punkter Toolbar Image. Punkterne får navnene A, B og C.
  3.  Forbind A og B med et Linjestykke Toolbar Image (korde AB) og afsæt Punkt på objekt D (medToolbar Image),
  4. Punkt D placeres sådan, at korde CD skærer (krydser) korde AB.
  5. Afsæt E med Skæringsværktøj Toolbar Imageog skjul linjestykkerne AB og CD. (Skjul objekt = "sluk" Vis objekt i genvejsmenu).
  6.  Forbind (konstruér) Toolbar Image nu Linjestykkerne AE, BE, CE, DE. (Omdøb evt. de automatiske navne til de her nævnte).
  7. Med alm. klik, hvor du holder Ctrl nede samtidig (Vælg flere) udvælger du netop disse fire linjestykker, og i stilbjælken over Tegneblok vælges, at Værdi vises. (For denne objekttype er "Værdi" linjestykkets længde).
  8. Fra Vis-menuen vælges CAS
  9. Beregn ved indtastning først produktet AE BE. Husk at bruge de navne, GeoGebra kender, for de to linjestykker AE og BE. Husk også at GeoGebra ikke behøver gangetegn, men kan klare sig med mellemrum.
  10. Dernæst udregner du produktet CE DE og sammenligner. Hvad vil du ud fra sætningen ovenfor forvente af de to produkter?
  11. I et Word-dokument indsætter du skærmbillede af Tegneblok og af beregningerne i CAS. Skriv en kommentar til resultatet fra CAS. I Tegneblok flytter du så et punkt på cirklen og gentager pkt. 10 (og 11).
Bonusspørgsmål:
  • Er der nogle korde-par, der opfylder sætningen?
  • Er der nogle korde-par, der ikke opfylder sætningen?
  • Hvad hvis E falder sammen med A, hvilke korder CD vil da være mulige? Er sætningen opfyldt af sådanne korde-par?

Se også

Opgaveark med skærende korder. Bevis 1 for sætningen. Bevis 2 for sætningen.