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Ableitung der Gewinnfunktion

Autor:r.akyuez

Einführung

In der "Geogebra Datei" sehen Sie den Graphen der Gewinnfunktion. Links sind ganz viele "Befehle" eingefügt wurden, die Sie zu Beginn ignorieren können. Mit Hilfe dieser Geogebra Datei sollen folgende Fragen beantwortet werden: 1.) Was gibt mir die Ableitungsfunktion an? 2.) Wie bestimme ich die Ableitungsfunktion? 3.) Wie hoch ist der maximale Gewinn? Im Verlauf dieser Datei werden Sie Schritt für Schritt Anweisungen bekommen, die Sie durchführen. Außerdem befindet sich in dieser Datei Verständnisfragen, die Sie beantworten sollen.

1.) Was gibt mir die Ableitungsfunktion an?

 Um diese Frage zu beantworten, müssen in der obigen Anwendung einige Befehle durchgeführt werden. Befolgen Sie folgende Schritte: Aktivieren Sie folgende Elemente, indem sie auf den linken Kreis neben dem jeweiligen Element klicken.
  • 4tes Element: a=....
  • 5tes Element: A=(a,G(a))
Probe, um zu überprüfen, ob alles richtig läuft: Im vierten Element "a=..." befindet sich rechts eine "Start" Button. Klicken Sie drauf. Wenn bis hier hin alles richtig gemacht wurde, dann müsste sich der Punkt A auf dem Graphen bewegen. Sie können nun wieder auf den Start Button drücken, um die Animation zu pausieren. Aktivieren Sie nun folgendes Element:
  • 7tes Element: "g(x)=Wenn...."
Nun müsste sich im Schaubild eine "kleine blaue Gerade" befinden. Die Bedeutung der blauen Gerade: Versuchen Sie selber auf die Bedeutung der "kleinen blauen Gerade" zu kommen, indem Sie die Animation wieder starten ("Start" Button im 4ten Element wieder drücken).

Die Bedeutung der blauen Gerade (Allgemein)

Tipp: Stellen Sie sich vor, der Graph wäre eine Achterbahnfahrt und die kleine blaue Gerade wäre der Waggon. Beschreiben Sie nun die Achterbahnfahrt.

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Die Bedeutung der blauen Gerade (Gewinnfunktion)

Erklären Sie nun, was die kleine blaue Gerade angibt bzw. was die kleine blaue Gerade über die Gewinnfunktion aussagt. (Verwenden Sie in Ihrer Antwort die Begriffe "steigen" und "sinken").

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2.) Wie bestimme ich die Ableitungsfunktion?

Nun müssen weitere Elemente aktiviert werden. Bis hierhin sollte das 1te, das 4te, das 5te und das 7te Element aktiviert sein. Aktivieren Sie nun folgendes Element:
  • das 9te Element: "b=Steigung(f)"
Das 9te Element gibt die Steigung der blauen Gerade UND die Steigung im Punkt A an. Im Schaubild müssten Sie nun eine Zahl an der blauen Gerade sehen. Diese passt sich an, wenn der Punkt A auf der Graphen bewegt wird.

Die Steigung der Gerade

Notieren Sie die Steigung der Gerade an folgenden Stellen: x=0; x=1; x=2; x=3; x=4; x=5; x=6 (Vorgehensweise: Sie können den Schieberegler im Schaubild manuell mit dem Finger an den gewünschte Wert verschieben.)

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Aktivieren Sie nun folgendes Elemente:
  • das 10te Element: "B=(a,b)"
  • das 11te Element: "Text1=...."
Im Schaubild erscheint jetzt der Punkt B und die Koordinaten des Punktes B. Nun wird es etwas komplizierter. Nehmen Sie sich für diesen Schritt ruhig Zeit. Betrachten Sie das Schaubild solang Sie brauchen, bis es "Klick" macht. Der Punkt B, welcher nun im Schaubild erscheint, hat folgende Eigenschaft: 1. Der x-Wert des Punktes B entspricht genau dem x- Wert vom Punkt A. 2. Der y-Wert von Punkt B entspricht der Steigung von der kleinen blauen Gerade. Überprüfen Sie dies, indem Sie immer wieder auf den "Start" Button drücken und anschließend stoppen. (Zur Erinnerung: Der "Start"- Button befindet sich in Element 4). Achten Sie auf die Werte im Schaubild.
Die Ableitungsfunktion (Graphisch) Wenn Sie nun auf den "Start" Button klicken, dann wird sich der Punkt B im Schaubild bewegen. Der Punkt B bewegt sich nach einer gewissen "Vorschrift". Um diese Vorschrift zu sehen, aktivieren Sie folgendes Element:
  • das 8te Element: "G'(x)=..."

Der grüne Graph

Aktivieren Sie nun die Animation. Beschreiben Sie, was Ihnen aufällt.

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Ableitungsfunktion (die grüne Funktion):

Was gibt die Ableitungsfunktion an? Beschreiben Sie in eigenen Worten, was die "Ableitungsfunktion der Gewinnfunktion" über die Gewinnfunktion aussagt. (Vereinfacht: Was sagt die grüne Funktion über die schwarze Funktion aus?)

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In dieser Geogebra Datei wurde Ihnen gezeigt, wie die Ableitungsfunktion graphisch zustande kommt. Auf dem Arbeitsblatt soll Ihnen gezeigt werden, wie die Ableitungsfunktion rechnerisch ermittelt wird.

3.) Wie hoch ist der maximale Gewinn?

Im Arbeitsblatt gab es einen Arbeitsauftrag und zwar lautete die Frage: "d.)Bestimmen Sie die Produktionsmenge mit dem maximaler Gewinn erzielt wird und bestimmen Sie zusätzlich den maximalen Gewinn" Nun wollen wir diese Frage lösen. Schieben Sie nun den Punkt A auf den maximalen Gewinn, indem Sie den "Start" Button starten und wieder stoppen. Oder einfacher: Verschieben Sie am Schieberegler bis der der Punkt A am maximalen Gewinn liegt.

Zusammenhang zwischen dem maximalen Gewinn und der Ableitungsfunktion

Wenn nun der Punkt A auf dem maximalen Gewinn (schwarzer Graph) liegt, dann achten Sie auf den Punkt B (der auf der Ableitungsfunktion liegt(grüner Graph)). Welche Eigenschaft hat der Punkt B nun. Erklären Sie kurz.

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Der maximale Gewinn

Erläutern Sie nun in eigenen Worten, wie man den maximalen Gewinn exakt bestimmen könnte.

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