Wendepunkte

Was sind Wendepunkte?

Wendepunkte sind Punkte eines Funktionsgraphen, an denen er seine Krümmungsrichtung ändert. Der Funktionsgraph wechselt hier also von einer Rechts- in eine Linkskrümmung oder umgekehrt. Das heißt genau bei einem Wendepunkt, hat der Funktionsgraph für einen winzigen Moment gar keine Krümmung. Wer mit dem Fahrrad auf einer Straße fährt, der muss bei Linkskurven den Lenker nach links und bei Rechtskurven den Lenker nach rechts drehen. Einen winzigen Moment lang ist der Lenker zwischen diesen beiden Kurven gerade. Und genau dieser Punkt ist ein Wendepunkt der Strecke.

Wendepunkte von f(x) sind bei Extremstellen von f'(x)

Man kann sich überlegen: Die Steigung eines Funktionsgraphen muss bei einem Wendepunkt extrem sein. Zeichne selber Funktionsgraphen und überprüfe dies an den Skizzen. Wenn sich die Krümmungsrichtung ändert, dann endet genau hier auch die Zu- oder die Abnahme der Steigung.

Vergleiche selbst:

Vergleiche selbst:

Wendestellen können als Extremstellen der ersten Ableitung berechnet werden.

Weil bei Wendepunkten die Steigung einer Funktion extrem ist, können wir für die Berechnung von Wendepunkten die gleichen Werkzeuge oder Rezepte verwenden, die wir für die Berechnung der Extrempunkte verwendet haben. Wir wenden die notwendigen und die hinreichenden Bedingungen für Extrempunkte aber nicht auf die Funktion selbst, sondern auf deren Ableitungsfunktion an. Die Aufgabenstellung "berechne die Wendestellen der Funktion " ist also völlig das Gleiche, wie die Aufgabenstellung "berechne die Extremstellen der Funktion ". Die Bedingungen für Extrempunkte bekommen daher nur einen Strich dazu:

Notwendige Bedingung zur Berechnung von Wendestellen

Hat die Funktion an einer Stelle eine Wendestelle, dann ist die ZWEITE Ableitung dort gleich Null: .

Hinreichende Bedingung für die Berechnung von Wendestellen mit der DRITTEN Ableitung

Ist an einer Stelle die notwendige Bedingung für Wendestellen erfüllt, d.h. die zweite Ableitungsfunktion ist gleich Null, dann gilt:
  • ist , dann ist an der Stelle ein Tiefpunkt der Steigung, d.h. der Funktionsgraph geht hier am steilsten nach unten oder er geht hier mit der geringsten Steigung nach oben
  • ist , dann ist an der Stelle ein Hochpunkt der Steigung, d.h. der Funktionsgraph geht hier am steilsten nach oben oder er geht hier mit der geringsten Steigung nach unten

Hinreichende Bedingung für Wendestellen mit der ZWEITEN Ableitung

Wie bei den Extremstellen gibt es auch hier eine weitere hinreichende Bedingung, es ist die gleiche wie bei den Extremstellen, nur mit einem Strich mehr:
  • Ist an einer Stelle ein Wendepunkt, dann muss die zweite Ableitung an dieser Stelle die Abszisse schneiden.
  • Wenn die zweite Ableitung an einer Stelle die Abszisse nur berührt, dann ist hier keine Wendestelle.

Übung: Berechnen der Wendepunkte einer gegebenen Funktion

Gegeben ist die Funktion

  • Berechne alle Wendestellen
  • Berechne dazu auch die y-Koordinaten und bestimme damit die Koordinaten der Wendepunkte.

Raritäten

Es ist sehr selten, dass bei einer Funktion die hinreichende Bedingung für Wendestellen mit der dritten Ableitung nicht erfüllt ist. Es kann tatächlich sein, dass hier dann gar kein Wendepunkt ist, wie der folgende Funktionsgraph zeigt:
Image
An der Stelle ist der Funktionsgraph kurz gerade und dann krümmt er sich aber weiter nach links, wie er es auch vor schon getan hat.