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LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO.

PENSAMIENTO Y ESTÁNDAR BÁSICO A DESARROLLAR.

  • PENSAMIENTO MATEMÁTICO: Pensamiento espacial y geométrico.
  • ESTÁNDAR BÁSICO DE COMPETENCIA MATEMÁTICA: Usar representaciones geométricas para resolver y formular problemas en la matemática y otras disciplinas.

PROPÓSITO DE APRENDIZAJE.

  • Que el estudiante aprenda a identificar y trazar las rectas notables en el triángulo así como sus puntos de intersección.

CONCEPTOS A TENER EN CUENTA.

En un triángulo se trazan cuatro tipos de líneas notables. Las alturas, las medianas, las mediatrices y las bisectrices. Las intersección entre ellas generan los puntos notables ortocentro, baricentro, circuncentro e incentro respectivamente. En la figura se representan las alturas, las medianas y las mediatrices, así como sus respectivos puntos notables ortocentro, baricentro y circuncentro.



La recta que contiene los puntos notables ortocentro, baricentro y circuncentro se conoce como "Recta de Euler". Se denomina así, en honor al matemático suizo Leonhard Euler, quien en 1765 demostró la colinealidad entre estos tres puntos.

ALTURAS Y ORTOCENTRO.

La altura de un triángulo se define como el segmento perpendicular trazado desde un vértice hasta su lado opuesto o a la prolongación de este. El punto de intersección de las tres alturas se conoce como, ortocentro. Según el tipo de triángulo, el ortocentro queda por dentro o por fuera de él, como se observa en la figura.

ORIENTACIONES PARA LA CONSTRUCCIÓN DE LAS ALTURAS EN UN TRIÁNGULO.

El siguiente vídeo indica los pasos a seguir para la construcción de cualquiera de las tres alturas en un triángulo y ubicar el ortocentro. Obsérvelo detenidamente y aprópiese de los pasos a realizar.

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE.

Visto el vídeo, vamos ahora a poner en práctica los pasos indicados en la construcción de las alturas en un triángulo. La construcción geométrica la realizamos trabajando sobre el applet de Geogebra dado. EJERCICIO 1: Paso 1: Construya para el triángulo dado en el applet, la altura desde el vértice C al lado opuesto AB. Paso 2: En el menú de herramientas, active "Elige y mueve" ( Toolbar Image ). Paso 3: Pique sobre el vértice C del triángulo y muévalo a cualquier lugar de la ventana de trabajo. Paso 4: Observe y analice qué ocurre con la posición de la altura del triángulo y con la medida de los ángulos A, B y C del triángulo.

Escriba sus conclusiones. Trate de ser muy explícito en su apreciación.

Paso 5: Mueva el vértice C hasta que la altura coincida, o con el lado BC o con el lado AC. ¿Según la medida de sus ángulos, qué clase de triángulo se forma?

Paso 6: Con la herramienta "elige y mueve" (Toolbar Image), cambie la posición de los vértices A y B del triángulo. Paso 7: Mueva el punto C hasta que la altura coincida, o con el lado BC o con el lado AC. ¿Según la medida de sus ángulos, qué clase de triángulo se forma?

EJERCICIO 2. Paso 1: Pique en la parte superior derecha del área de trabajo del applet donde dice "Reinicio de la construcción". Paso 2: Construya de nuevo la altura del vértice C al lado AB.

Paso 3: Mueva el vértice C hasta que la altura quede por fuera del triángulo y a la derecha del punto B. ¿Qué clase de ángulo queda, en el vértice B y en el vértice A?

Paso 4: Mueva el vértice C hasta que la altura quede por fuera del triángulo y a la izquierda del punto A. ¿Qué clase de ángulo queda, en el vértice A y en el vértice B?

Escriba, qué concluye de la posición de la altura C al lado AB, según que el ángulo A o el ángulo B sea agudo, obtuso o recto.

EJERCICIO 3: Paso 1: En el applet dado, pique de nuevo en "Reinicio de la construcción". Paso 2: Pique en la barra de herramientas en la opción Toolbar Image (Punto) y en el menú que se despliega pique en Toolbar Image (Medio o Centro). Paso 3: Pique luego sobre el lado AB del triángulo. De esta manera ubicamos el punto medio del lado AB. Paso 4: Haga click derecho sobre el punto medio y escoja la opción "Etiqueta visible". Aparece entonces el punto D. Paso 5: Trace la altura desde el vértice C al lado opuesto AB. Paso 6: Con la herramienta "Elige y mueve" desplace la altura hasta que coincida con el punto medio D.

a) ¿Según la medida de sus lados, qué clase de triángulo, se forma?

b) Según la medida de los ángulos, ¿Qué clase de ángulos son, el ángulo A y el ángulo B?

OTRA DEFINICIÓN DE ALTURA.

La altura de un triángulo se define también como la longitud del segmento perpendicular que va de un vértice del triángulo a su lado opuesto o a su prolongación. Si en un triángulo isósceles se conocen sus lados, podemos determinar el valor de la longitud de una de sus alturas, teniendo en cuenta como se observó en la construcción anterior, que el pie de la altura del vértice al lado desigual es el punto medio de dicho lado. Observe la siguiente figura.
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¿Con base en lo enunciado anteriormente, qué procedimiento matemático o teorema por usted conocido permite calcular el valor de la altura del triángulo formado?

EJERCICIO 4: Paso 1: Pique en "Reinicio de la construcción". Paso 2: Con la herramienta "Elige y mueve", desplace uno de los vértices hasta construir un triángulo equilátero de lados 7 cm. Los números que observa a cada lado del triángulo corresponde a la medida del lado. Paso 3: Trace las tres alturas del triángulo dado, como se explicó en el vídeo. Paso 4: Ubique los puntos medios de los lados AB, AC y BC.

Observa y analice el resultado de la construcción y escriba sus conclusiones.

APLICACIONES REALES.

El desarrollo de la matemática, la geometría, la astronomía y otras ciencias llevaron a la cultura egipcia a obras tan majestuosas como las pirámides de Keops, Kefren y Micerinos. Como se observa en las imágenes, las caras de las pirámides tienen forma triangular. Pensemos entonces, cuantos problemas desde la matemáticas y la geometría tuvieron que resolver para calcular las dimensiones de las pirámides. Calcular por ejemplo, las longitudes de las aristas, la longitud de la apotema, la altura y las dimensiones de las base. Este es un buen ejemplo, estrechamente relacionado con el tema tratado. Piense en cuantas más situaciones de la vida real, hay problemas de esta índole.
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TAREA DE INVESTIGACIÓN.

Una de las situaciones reales que inquietaron al hombre desde hace cientos de años, fue el problema de medir y calcular el área y el perímetros de diversas formas geométricas. Para el caso que hemos trabajado, que son los triángulos, existen formas matemáticas de determinar estos parámetros con base por ejemplo en el cálculo de las alturas de un triángulo.

Como complemento a lo tratado en el tema de clase:

  1. Consulte qué procedimientos o formas matemáticas son las más conocidas para determinar o calcular analíticamente las alturas de un triángulo.
  2. En su cuaderno de notas, escriba mínimo dos hojas, sobre la biografía de dos de los matemáticos más importantes que hayan aportado significativamente a la solución del problema planteado.

AUTOEVALUACIÓN.

Apreciado estudiante. Redacte de manera breve y concisa que aprendió, qué dificultades se le presentaron y que acciones propone para superarlas. Si tiene sugerencias, no dude en hacerlas.