Sätze von Green und Stokes

Wir haben im vorigen Abschnitt die Rotation als eine differentielle Beschreibung des Vektorfeldes kennengelernt. Dazu wurden Gebiete unterschiedlicher Form und das Verhalten des Feldes an deren Rand unter der Bedingung untersucht, dass das Gebiet möglichst klein ist. Wir haben dazu den Flächeninhalt gegen null konvergieren lassen. Jetzt stellen wir uns die Frage, welcher Zusammenhang zwischen der Wirbeldichte und der Gesamtrotation besteht, wenn das betrachtete Gebiet nicht verkleinert wird. Wir werden uns dazu mit dem Satz von Green unter Nutzung des Applets beschäftigen. Dieser Lehrsatz betrachtet ebene Gebiete, die in der xy-Koordinatenebene liegen. Der klassische Satz von Stoke stellt dann eine Erweiterung für auch gekrümmte Gebiete, deren Rand nicht in der xy-Ebene liegt, dar.

Auch den Satz von Green werden wir hier nicht beweisen. Mir ist es wichtiger, dessen Grundidee zu verdeutlichen. Wir wählen daher als Gebiet ein regelmäßiges n-Eck, das sich auch im Applet (setzen Sie es ggf. zurück) gut darstellen lässt. Sie sehen eine Einteilung in Teilflächen. Wir nehmen an, dass die Wirbeldichte innerhalb dieser Teile konstant ist. Dann ist das Produkt aus Flächeninhalt und Wirbeldichte gleich der Rotation in dem Teilgebiet. Die Summe all dieser Teilrotationen ist dann die Gesamtrotation für das n-Eck. Im Hintergrund des Applets habe ich allerdings etwas gemogelt: Ich lasse die Rotation ein Quadrat aus Teilen berechnen. Das Ergebnis multipliziere ich mit . So ist der Rechenaufwand für große geringer. Zur Motivation des Begriffs der Wirbeldichte haben wir stets die Anteile des Vektorfeldes entlang des Weges um das Gebiet herum betrachtet. Beiträge zur Rotation sind die Skalarprodukte aus Feldvektor und Wegstück. Deren Summe sollte also ebenso die Gesamtrotation angeben. Das ist genau der Kerngedanke des Satzes von Green. Sie werden sehen, dass für sowohl die Annahme, die Wirbeldichten seien konstant, noch dass die Feldvektoren über die Seiten des n-Ecks hinweg konstant sind, noch zu ungenau ist. Ziehen Sie nun den Schieberegler nach rechts. Die Teilflächen werden mehr und kleiner. Gleiches gilt für die Seiten des Vielecks. Es kann nachvollzogen werden, dass sich die Summen tatsächlich den Integralen annähern und wir können die Behauptung des Satzes von Green zu

formulieren. Im Applet habe ich bereits anstelle der Differenz der Differentialquotienten das Nabla-Symbol verwendet. Das ergibt dann die gleiche Aussage, wenn einen Vektor in z-Richtung beschreibt. Wenn wir uns aus der xy-Ebene herausbegeben und auch gekrümmte Flächen zulassen, legen wir ebenfalls die Richtung der Flächenanteile fest. Nach der Wahl muss natürlich immer auf derselben Seite geblieben werden. Der Rand ist so zu umlaufen, dass der Umlaufsinn zusammen mit den gewählten Flächenvektoren ein Rechtssystem bildet. Dann verallgemeinern wir die Aussage des Satzes zu

.

Das ist die Behauptung des klassischen Satzes von Stoke. Schauen wir uns dazu auch wieder einige Beispiele an: Rotierende Scheibe: Dieses Beispiel haben wir für unsere Überlegungen verwendet. Wegen der konstanten Wirbeldichte vom Betrag 1 entspricht die Gesamtrotation stets dem gleichen Flächeninhalt. Für große ist das der Inhalt des Kreises mit dem Radius . Geschlossenes Feld: Beim Vergleich mit den Ausführungen zu den punktförmigen Quellen beim Gaußschen Integralsatz fällt auf, dass gegenüber dem Feld dort mit hier lediglich eine Vertauschung der Koordinaten und die Umkehr des Vorzeichens bei der x-Koordinate vorgenommen wurde. An gleichen Stellen sind die Vektoren beider Felder orthogonal zueinander. Die Vektoren der Wegstücke, über die integriert wird, sind im Vergleich beider Fälle auch orthogonal zueinander. Daher ist es auch nicht verwunderlich, dass die Wirbeldichte fast überall null ist. Wenn Sie das Gebiet hier über den Ursprung ziehen, werden Sie feststellen, dass die Gesamtrotation bei Berechnung des Wegintegrals auch hier wieder beträgt, Während das formale Flächenintegral zu null berechnet wird. Diesen Widerspruch beseitigen wir auch hier wieder mithilfe der Dirac'schen Deltafunktion. Wenn wir die Quelldichte mit beschreiben, ist auch , solange A den Ursprung enthält. Anderenfalls ist das Integral null. Die nach Stokes, bzw. Green behauptete Gleichheit der Integrale ist damit auch für die hier vorliegende Form des Feldes gegeben. Entgegengesetzte Rotation: Da die Wirbeldichte in diesem Fall tatsächlich überall null ist, ist es auch das Flächenintegral über jedem beliebigen Gebiet. Daher sollte auch das Wegintegral über den Rand eines Gebietes null sein. Sei nun eine geschlossene Kurve, die eine von null verschiedene Fläche umschließt. Damit gibt es ein so, dass ist. Wir berechnen nun ganz formal das Integral:

.

Damit stimmen auch hier linke und rechte Seite der Behauptung überein. Allgemeines Feld: Dieses Beispiel habe ich auch wieder ohne jeden weiteren Bezug zur Physik gewählt. Nutzen Sie es, um mit verschiedenen Eckenzahlen und Positionen des Gebiets zu experimentieren.