Notwendige Bedingung für ein lokales Extremum
Globales und lokales Extremum
Ein Extrempunkt (auch Extremum genannt, die Mehrzahl heißt "Extrema") ist ein Hoch- oder ein Tiefpunkt.
Im übertragenden Sinne also ein "Berggipfel" oder eine "Talsohle". Einen Hochpunkt nennt man auch "Maximum" (die Mehrzahl heißt "Maxima") und einen Tiefpunkt "Minimum" (die Mehrzahl heißt "Minima").
Ein lokales Maximum ist wie ein Berggipfel nur für seine Umgebung der höchste Punkt. Denn meistens gibt es irgendwo anders einen noch höheren Berg. Ein globales Maximum ist wirklich die Stelle einer Funktion über den gesamten Definitionsbereich gesehen, an der der höchste Funktionswert vorliegt. Übertragen auf die Berge der ganzen Erde wäre es also wirklich der höchste Berg der Erde, der Mount Everest. Die gleiche Betrachtung können wir für lokale und globale Tiefpunkte oder Minima anstellen.
Wenn wir im Weiteren Maxima und Minima oder Hoch- und Tiefpunkte berechnen, dann meinen wir immer nur lokale Maxima und lokale Minima.
Notwendige Bedingung für Extremstellen einer Funktion
Im Kapitel "Funktionen analysieren mit der ersten Ableitungsfunktion" wurde die Frage gestellt:
Welche Bedingung bezüglich der Tangentensteigung ist bei Extrempunkten IMMER erfüllt?
Die Antwort ist: Bei einem lokalen Extrempunkt ist die Tangentensteigung immer gleich Null, das heißt die erste Ableitungsfunktion hat hier den Funktionswert Null.
Das lässt sich hervorragend dazu verwenden, die Stellen auszurechnen, an denen eine Funktion ihre Extremstellen hat. Man muss einfach nur die Nullstellen der ersten Ableitungsfunktion berechnen.
Notwendige Bedingung für die Existenz eines Extrempunktes:
Hat die Funktion an der Stelle ein Extremum, dann ist an dieser Stelle die erste Ableitungsfunktion gleich Null:.
Beispielaufgabe: Extrempunkte berechnen
Berechne die Koordinaten der Extrempunkte der Funktion