E 09 Legyen adott négy pont ...
.
... amelyek közül bármelyik három nem esik egy egyenesre.
Legyen továbbá adott négy általános helyzetű egyenes - amelyek közül bármelyik három nem esik egy pontra.
Ezekre építve bevezethetjük az alábbi fogalmakat, ....
.... és -bizonyítható - tételeket:
Tisztáznunk kell még két további fogalmat:
Megjegyezzük, hogy ezek az eléggé hevenyészetten bevezetett fogalmak és tételek alapvetően az euklideszi geometria általánosításaként kiépített projektív geometria fogalmai.
Bizonyára feltűnt, hogy szinte azonos szöveget tartalmaz a fenti szöveg két oldala, lényegében csak a "pont" és "egyenes" szavakat cseréltük fel.
Mindezt az teszi lehetővé, hogy - mint korábban láttuk - a
"bármely két pontra egy és csak egy egyenes illeszkedik", és a
"bármely két egyenesre egy és csak egy pont illeszkedik"
kijelentések egyaránt érvényesek a projektív geometriában és az elliptikus geometriában.
Emiatt a fenti definíciók itt nem is annyira hevenyészettek, ugyanis nem kell olyan speciális eseteket külön kizárnunk, ami az euklídeszi geometriában előfordulhat, hogy pl. valamelyik két egyenes párhuzamos, így nincs közös pontjuk.
Azt is láttuk, hogy ha az elliptikus geometria félgömbmodelljét un. sztereografikus vetítéssel vetítjük a síkra, akkor az itteni E-körmodellt, ha a gömb középpontjából történik a vetítés, akkor a projektív síkot kapjuk.
Így hát joggal vetődik fel a kérdés, hogy mindez miként tükröződik a most vizsgált E-körmodellünkön.
| Teljes négyoldalnak nevezzük a sík négy különböző egyeneséből, és az általuk meghatározott hat pontból (csúcsok ,v. szögpontok) álló geometriai alakzatot. A szögpontok általmeghatározott további egyenesek a teljes négyoldal átlós-egyenesei, ezek metszéspontjai az átlóspontok. | Teljes négyszögnek nevezzük a sík négy különböző pontjából, és az általuk meghatározott hat egyenesből (oldalak) álló geometriai alakzatot. Az oldalak által meghatározott további pontok a teljes négyszög átlós-pontjai, ezekre illeszkedő egyenesek az átlók. |
| Egy teljes négyoldal valamely átlós-egyenesére illeszkedő két szögpont és két átlóspont harmonikus pontnégyest alkot. | Egy teljes négyszög valamely átlós-pontjára illeszkedő két oldal és két átló harmonikus sugárnégyest alkot. |
| Legyen A, B, C, D egy egyenes négy különböző pontja. Az A, B, C, D pontnégyes (ABCD) kettősviszonyán az alábbi előjeles szakaszok hányadosait értjük: Az A, B, C, D pontok harmonikus pontnégyest alkotnak, ha (ABCD)=-1 | Legyen a, b, c, d egy pontra illeszkedő négy különböző egyenes. (sugárnégyes) Az a, b, c, d sugárnégyes (abcd) kettősviszonyán az alábbi előjeles szögek szinuszainak a hányadosát értjük: Az a,b,c,d, egyenesek harmonikus sugárnégyest alkotnak, ha (abcd)=-1 |
Az alábbi appletben ugyanazzal az A, B, C, D ponttal adtuk meg a teljes négyoldal 4 és a teljes hatszög 6 egyenesét. Ezt teszi lehetővé, hogy ugyanaz a geometriai alakzat mást-mást jelent, az egyik, ill. másik esetben.
Teljes négyoldal, teljes négyszög
Felhívjuk olvasóink figyelmét arra, hogy itt már találkoztak a fenti applet egy speciális esetével:
Egy általános háromszög középvonalai teljes négyoldalt, súlypontjai, valamint a beírt köreinek a középpontjai teljes négyszöget határoznak meg. Mindhárom konstrukciónak az adott háromszög oldalai, ill. csúcsai lesznek az átlói, ill. átlós pontjai.
Ezt az "okozza", hogy az E-egyenes két pontja, és a hozzájuk tartozó szakaszfelező pontok harmonikus pontnégyest alkotnak..
Harmonikus pontnégyes és sugárnégyes az E-modellen
Bár megtehettük volna, hogy az előző appletben fellelhető pontok és egyenesek kettősviszonyait "számoljuk ki", ellenőrizendő, hogy valóban harmonikus pontnégyest ill. sugárnégyest állítottuk-e elő, most erre más utat fogunk választani.
Feladat:
Legyen adott az E-síkon a t=(A,B) egyenes, és egy C∈t pont.
Szerkesszük meg C-nek azt az A, B alappontokra vonatkozó D harmonikus társát, amelyre (ABCD)=-1 .
Ehhez felépítünk egy olyan teljes négyoldalt, amelynek két csúcsa A és B, egyik átlóspontja C, megkeressük az AB egyenes másik átlóspontját D-t, végül ellenőrizzük, hogy helyes-e a szerkesztésünk: valóban teljesül-e, hogy (ABCD)=-1.
- Felvettük az E-modell t=EE(A,B) egyenesét és a t-n mozgatható C pontot.
- Felvettük az E-sík tetszőleges S∉t pontját, majd az (S,C) egyenesen egy további E pontot.
- Legyen F=(EA)∩(SB) és G=(EB)∩(SA) , így a keresett teljes négyoldal csúcsai A, B, S, E, G és F.
- A kapott teljes négyoldal átlói (SE) ,(F,G) és (AB), így az (AB) átlóra eső két csúcs A és B, két átlóspont C és D . Figyeljük meg, hogy az S és E pontok megválasztásától nem függ a D pont . Azt is érdemes megjegyezni, hogy C és D szerepe szimmetrikus.
- Azt kell megvizsgálnunk, hogy a kapott konstrukcióra teljesül-e, hogy (ABCD)=-1 . Mint láttuk, az E-szakaszok szögeit a végpontjaira és a szakasz pólusára illeszkedő E-egyenesek szögével mérjük. Tehát teljesülnie kell az (ABCD)=(abcd) feltételnek is, ahol egyelőre a, b, c, d rendre az A,B,C ill. D pontra és a t egyenes pólusára illeszkedő négy egyenes, Egy sugárnégyes kettősviszonyához viszont a szögeik szinuszára van szükség. Így hát az (ABCD) kettősviszony kiszámításához nem a szakaszok hosszait -mint szögeket - hanem e szögek szinuszait kell figyelembe vennünk. Erre valóban teljesül, hogy (ABCD)=-1. Az applet szövegében -1 a (-sin(ac)/sin(cb))/(sin(ad)/sin(db)) képlettel kiszámított szám.