Funções e Equações Diferenciais Ordinárias Aplicadas em Circuitos Elétricos RLC em série com corrente contínua
Circuito de segunda ordem do tipo RLC
Circuitos contendo dois elementos de armazenamento, como indutor e capacitor, são denominados circuitos de segunda ordem, pois apresentam derivadas segundas.
Segundo Sadiku, Musa, Alexander (2014, p.277) "um circuito de segunda ordem é caracterizado por uma equação diferencial de segunda ordem. Ele é formado por resistores e o equivalente de dois elementos de armazenamento."
Circuito RLC em série sem fonte
Compreender a resposta natural de um circuito RLC em série, sem a presença de uma fonte, é essencial para estudos futuros nas áreas de projeto de filtros e redes de comunicação.
FIG.15: Circuito RLC sem fonte
Fonte: Sadiku, Musa, Alexander (2014, p.282)
Seja o circuito em série , conforme FIG.15, excitado pela energia armazenada no capacitor e no indutor, representada pela tensão inicial no capacitor e pela corrente inicial no indutor. Portando, no instante t=0:
e
Aplicando a LKT no circuito da FIG.15:
(I)
Assim, a Equação (I) pode ser expressa como
Para obter uma EDO de segunda ordem que modela o problema, utilizaremos o fato de que a corrente elétrica é a taxa de variação da carga elétrica em relação ao tempo .
Assim, a Equação (I) pode ser expressa como:
(II)
Assim, modelamos o problema por meio da equação (II) que é uma EDO de segunda ordem com coeficientes constantes.
Em busca de uma solução para a equação (II), deve-se observar que estamos diante de uma EDO homogênea.
Como vimos em circuito de primeira ordem supomos uma solução exponencial da forma :
e , substituindo em (II):
Como uma equação quadrática conhecida como equação característica da EDO (II). Uma vez que as raízes ditam as características básicas de q(t). Temos como raízes:
e
De acordo com Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 283), uma maneira mais concisa de expressar as raízes é:
e , sendo e
As raízes e são chamadas frequências naturais, medidas em nepers por segundo (Np/s), pois estão associadas à resposta natural do circuito. Enquanto é conhecida como frequência ressonante ou, estritamente, como a frequência natural não amortecida, expressa em radianos por segundo (rad/s), é a frequência de neper ou fator de amortecimento, também expresso em Np/s. (Sadiku, Musa, Alexander (2014, p.283)
A equação
Em termos de e :
As duas raízes s e indicam que existem duas soluções possíveis para :
e
Uma vez que a equação (II) é linear, qualquer combinação das duas soluções distintas e também é solução para a equação (II). Dessa forma, temos uma solução homogênea para a EDO do circuito RLC em série, sem fonte:
Onde e são constantes arbitrárias que podem ser determinadas a partir das condições iniciais atribuídas.
Em relação as raízes e encontradas, podemos inferir três tipos de soluções:
1. Se , temos o caso de amortecimento supercrítico.
2. Se , temos o caso de amortecimento crítico.
3. Se , temos o caso de subamortecimento.
Fonte: Sadiku, Musa, Alexander (2014, p.282)
Seja o circuito em série , conforme FIG.15, excitado pela energia armazenada no capacitor e no indutor, representada pela tensão inicial no capacitor e pela corrente inicial no indutor. Portando, no instante t=0:
e
Aplicando a LKT no circuito da FIG.15:
(I)
Assim, a Equação (I) pode ser expressa como
Para obter uma EDO de segunda ordem que modela o problema, utilizaremos o fato de que a corrente elétrica é a taxa de variação da carga elétrica em relação ao tempo .
Assim, a Equação (I) pode ser expressa como:
(II)
Assim, modelamos o problema por meio da equação (II) que é uma EDO de segunda ordem com coeficientes constantes.
Em busca de uma solução para a equação (II), deve-se observar que estamos diante de uma EDO homogênea.
Como vimos em circuito de primeira ordem supomos uma solução exponencial da forma :
e , substituindo em (II):
Como uma equação quadrática conhecida como equação característica da EDO (II). Uma vez que as raízes ditam as características básicas de q(t). Temos como raízes:
e
De acordo com Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 283), uma maneira mais concisa de expressar as raízes é:
e , sendo e
As raízes e são chamadas frequências naturais, medidas em nepers por segundo (Np/s), pois estão associadas à resposta natural do circuito. Enquanto é conhecida como frequência ressonante ou, estritamente, como a frequência natural não amortecida, expressa em radianos por segundo (rad/s), é a frequência de neper ou fator de amortecimento, também expresso em Np/s. (Sadiku, Musa, Alexander (2014, p.283)
A equação
Em termos de e :
As duas raízes s e indicam que existem duas soluções possíveis para :
e
Uma vez que a equação (II) é linear, qualquer combinação das duas soluções distintas e também é solução para a equação (II). Dessa forma, temos uma solução homogênea para a EDO do circuito RLC em série, sem fonte:
Onde e são constantes arbitrárias que podem ser determinadas a partir das condições iniciais atribuídas.
Em relação as raízes e encontradas, podemos inferir três tipos de soluções:
1. Se , temos o caso de amortecimento supercrítico.
2. Se , temos o caso de amortecimento crítico.
3. Se , temos o caso de subamortecimento.
Caso de amortecimento supercrítico
, obtém-se duas soluções reais e distintas e da Equação (III), e assim a solução homogênea é dada por :
Fonte adaptada: Sadiku, Musa, Alexander (2014, p.284)
Caso de amortecimento crítico
, obtém-se duas soluções reais e iguais,
Para esse caso a solução homogênea conduz para:
Considerando identificamos que não pode ser solução, pois as duas condições iniciais não podem ser satisfeitas com a constante única , pois seria solução de uma EDO de primeira ordem e não de segunda ordem.
Vamos analisar a EDO (II) quando
, considerando :
que é a EDO de primeira ordem com solução , com constante.
Dessa forma, corresponde a:
ou
Integrando ambos os membros:
, com constante.
Portanto, a solução homogênea corresponde a:
A resposta natural de um circuito com amortecimento crítico é a soma de dois termos com um deles multiplicado por um fator linear.
Fonte adaptada: Sadiku, Musa, Alexander (2014, p.284)
Caso de subamortecimento
, obtém-se duas soluções complexas conjugadas , da forma:
e , sendo a parte real e a parte imaginária.
Observe que e
corresponde a frequência de amortecimento, sendo tanto como frequências naturais, pois ajudam a determinar a resposta natural;
: frequência natural não amortecida
: frequência natural amortecida
A solução homogênea corresponde a:
Com as identidades de Euler: e :
Considerando e :
Com a presença das funções seno e cosseno, fica evidente que a resposta natural para este caso é caracterizada por uma amortização exponencial e uma natureza oscilatória.
Fonte adaptada: Sadiku, Musa, Alexander (2014, p.285)
Funções de Equações Diferenciais de segunda ordem aplicadas a circuitos RLC em série e sem fonte no GeoGebra
Vamos analisar o comportamento gráfico das funções exponenciais e trigonométricas aplicadas a carga e a corrente elétrica em relação aos casos de amortização de um circuito elétrico RLC em série e sem fonte.
Primeiramente escolha uma das opções de amortizações que constam numa lista suspensa.
A seguir, faça alterações nos valores reais de R (quando possível), L , C, e procurando sempre observar e analisar o comportamento gráfico das funções aplicadas a carga e a corrente elétrica.
Nos gráficos, procure identificar o PVI (Problema de Valor Inicial) e os valores máximos e mínimos da carga elétrica em função do tempo t[s].
Atividade proposta:
Utilizando o aplicativo do GeoGebra ou calculando as raízes características do circuito, de acordo com a FIG.16, responda:
FIG.16: Circuito RLC em série e sem fonte
Fonte: Sadiku, Musa, Alexander (2014, p.282)
Fonte: Sadiku, Musa, Alexander (2014, p.282)1) Na FIG. 16, , e . A resposta natural corresponde ao caso de:
2) Na FIG. 16, , e . A resposta natural corresponde ao caso de:
3) Na FIG. 16, , e . A resposta natural corresponde ao caso de:
Resposta a um degrau de um circuito RLC em série
A resposta a um degrau é obtida por uma aplicação repentina de uma fonte (cc). Consideramos o circuito RLC em série, conforme FIG.17. Aplicando a LKT no circuito para t>0.
Circuito RLC em série com fonte (cc)
Fonte: Sadiku, Musa, Alexander (2014, p.294)
, como :
(III)
A solução para a EDO (III) possui duas componentes: resposta transiente e resposta de estado estável :
Matematicamente corresponde a solução homogênea e a solução particular e a solução geral não homogênea da EDO (III).
Para resolver a EDO (III) vamos em busca da solução homogênea, , que coincide com a EDO (II), apenas temos uma mudança de variável, de para . Dessa forma, já conhecemos a solução homogênea:
(amortecimento supercrítico)
(amortecimento crítico)
(subamortecimento)
Vamos em busca da solução particular , utilizando o método dos coeficientes indeterminados:
:
Portanto:
(amortecimento supercrítico)
(amortecimento crítico)
(subamortecimento)
Os valores das constantes e são obtidos pelo PVI , e .
Lembrando que corresponde a tensão no capacitor . Dessa forma, é possível encontrar a corrente , que é corrente do capacitor, do indutor e do resistor. Portanto, a tensão no resistor e no indutor correspondem, respectivamente, a:
e .
Fonte: Sadiku, Musa, Alexander (2014, p.294)
, como :
(III)
A solução para a EDO (III) possui duas componentes: resposta transiente e resposta de estado estável :
Matematicamente corresponde a solução homogênea e a solução particular e a solução geral não homogênea da EDO (III).
Para resolver a EDO (III) vamos em busca da solução homogênea, , que coincide com a EDO (II), apenas temos uma mudança de variável, de para . Dessa forma, já conhecemos a solução homogênea:
(amortecimento supercrítico)
(amortecimento crítico)
(subamortecimento)
Vamos em busca da solução particular , utilizando o método dos coeficientes indeterminados:
:
Portanto:
(amortecimento supercrítico)
(amortecimento crítico)
(subamortecimento)
Os valores das constantes e são obtidos pelo PVI , e .
Lembrando que corresponde a tensão no capacitor . Dessa forma, é possível encontrar a corrente , que é corrente do capacitor, do indutor e do resistor. Portanto, a tensão no resistor e no indutor correspondem, respectivamente, a:
e .
Funções de Equações Diferenciais de segunda ordem aplicadas a circuitos RLC em série e com fonte no GeoGebra
Vamos analisar o comportamento gráfico das funções exponenciais e trigonométricas aplicadas a tensão no capacitor e a corrente elétrica no resistor, capacitor e indutor em relação aos casos de amortização de um circuito elétrico RLC em série e com fonte.
Primeiramente escolha uma das opções de amortizações que constam numa lista suspensa.
A seguir, faça alterações nos valores reais de R (quando possível), L , C, e procurando sempre observar e analisar o comportamento gráfico das funções aplicadas a tensão e a corrente elétrica.
Nos gráficos, procure identificar o PVI (Problema de Valor Inicial) e os valores máximos e mínimos da carga elétrica em função do tempo t[s].
Utilizando o aplicativo do GeoGebra desta atividade ou calculando as raízes características do circuito, responda:
1) Na FIG.18, , e . A resposta natural corresponde ao caso de:
FIG.18: Tensão a um degrau aplicado a um Circuito RLC em série
Fonte: Sadiku, Musa, Alexander (2014, p.294)
Fonte: Sadiku, Musa, Alexander (2014, p.294)2) Na FIG. 18, , e . A resposta natural corresponde ao caso de:
3) Na FIG. 18, , e . A resposta natural corresponde ao caso de:
Referências:
SADIKU, Matthew N. O; ALEXANDER, Charles K.; MUSA, Sarhan. Análise de circuitos elétricos com aplicações. AMGH Editora, 2014.
Artigo:
Silva, C. R., & Boscarioli, C. (2026). Livro digital interdisciplinar com GeoGebra: aplicações de equações diferenciais a circuitos elétricos em corrente contínua. Revista Do Instituto GeoGebra Internacional De São Paulo, 15(1), 007–035. https://doi.org/10.23925/2237-9657.2026.v15i1p007-035