Εμβαδον τριγώνου περιγεγραμμένου σε κύκλο
Διχοτόμοι
Οι τρεις (εσωτερικές) διχοτόμοι ενός τριγώνου ABΓ συγκλίνουν στο ίδιο σημείο I, το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο (εσωτερικά εφαπτόμενος στις τρεις πλευρές του τριγώνου).
Εγγεγραμμένος κύκλος
Έστω I το κέντρο του κύκλου (c), εγγεγραμμένο στο τρίγωνο ABΓ, και ρ η ακτίνα του.Ο κύκλος (c) εφάπτεται κάθετα στις πλευρές του τριγώνου στα Ια, Ιβ και Ιγ.Το τρίγωνο ABΓ τώρα μπορεί να διαχωριστεί σε τρία τρίγωνα BΙΓ, ΓΙA, AΙB, με κορυφή Ι και ύψη αντίστοιχα IΙα, IΙβ, IΙγ, ίδιου μήκους ρ.
Τύπος εμβαδού
Επομένως, το εμβαδόν Ε του τριγώνου ABΓ είναι:
(ΑΒΓ)= (ΒΙΓ) + (ΓΙΑ) + (ΑΙΒ) =
+ + = × ρ = τ × ρ.
Άρα Ε = τ × p όπου τ =