Die Oberfläche einer Kugel
Aufgabe 1
Wiederhole noch einmal, denn diese Formel benötigst du für die Herleitung der Formel. Wie lautet die Formel für das Volumen einer Kugel mit dem Radius r?
Aufgabe 2
Mache dich mit der Animation vertraut. Du kannst die Kugel auch drehen und von allen Seiten betrachten. Untersuche, was passiert, wenn du die Schieberegler betätigst oder "Spur ein" beziehungsweise "Spur aus" drückst. Beschreibe deine Beobachtung in Stichpunkten..
Aufgabe 3
Verstelle den schwarzen Schieberegler und die Oberfläche wird in mehr Teilflächen unterteilt. Damit werden immer mehr Pyramiden möglich. Man spricht dann von insgesamt n Pyramiden, die so erzeugt werden. Dabei steht n für eine beliebige große Anzahl. Diese Pyramiden haben die Grundfläche G1 bzw. G2 bzw. G3 usw. Diese sind alle unterschiedlich. Du kannst dann die allgemeine Bezeichnung Gn für die Grundfläche der n-ten Pyramide benutzen. Mit welcher Formel berechnest du dann das Volumen z.B. der n-ten Pyramide in dieser Kugel mit dem Radius r?
Aufgabe 4
Das Volumen der Kugel besteht dann aus dem Volumen all dieser Pyramiden. (Drücke "Spur ein" und verstelle den roten und blauen Schieberegler, um die Pyramide zu verschieben und alle Pyramiden, die zusammen das Kugelvolumen bilden, sichtbar zu machen.) Mit welcher Formel lässt sich also auch das Volumen V der Kugel berechnen?
Aufgabe 5
Begründe die Antwort in Aufgabe 4 kurz.
Aufgabe 6
Weil du die Formel einer Kugel bereits kennst (siehe Aufgabe 1), kannst du diese jetzt in die richtige Formel in Aufgabe 5 einsetzen. Diese Gleichung kannst du noch umformen. Welche der folgenden Gleichungen erhältst du dann?
Aufgabe 7
Erkläre kurz, wie in Aufgabe 6 umgeformt wurde.
Aufgabe 8
In der richtigen Formel in Aufgabe 6 ist auch schon die Oberfläche enthalten. Welcher Teil der Gleichung entspricht der Oberfläche? Nenne in eigenen Worten und erkläre kurz.