Diagonalmatrix und Eigenvektoren Rn

Jordan-Normalform

Version für "beliebige" n - vorbelegt X=x1,x2....x9. (Grundlagen und Beispiel Diagonalisieren - Jordan-Normalform) Die Kriterien zur Diagonalisierbarkeit sind
  1. Das charakteristische Polynom zerfällt in Linearfaktoren
  2. Die Dimensionen der Eigenräume entsprechen den algebraischen Vielfachheiten der Eigenwerte
Im Applet wird nur der Fall algebraische Vielfachheit = geometrische Vielfachheit behandelt. Die Suche nach einem Hauptvektor im anderen Fall kann mit ergänzenden Schritten umgesetzt werden. Im PDF-Artikel (ggb im PDF-Anhang) sind einige Beispiele dokumentiert. Ich hab nicht versucht die Suche nach dem Hauptvektor zu automatisieren - es sind Eingriffe von Hand notwendig - es sieht auch nicht danach aus, dass dieser Schritt in GGB (alle möglichen Fallunterscheidungen) umgesetzt werden könnte. (4)(5)(6)(7) Charakteristisches Polynom Det| A-λE | = 0 Falls die Online Version eine undefinierte Variable E findet ===> Zeile (4) neu berechnen (6) Eigenwerte:= Eine Liste λi der Eigenwerte (7) DimEigenraum:= Eine Liste n-MatrixRang (A-λiE) = Dimension des Eigenraumes zu λi (Anzahl der Eigenvektoren) (8) Die Matrixgleichungen (A-λiE)=0 (9) LGλi Lineare Gleichungssysteme zu (8) λi zeilenweise (10) Aλi Löse LGλi (11) Eigenvektoren in Spalten mit unbestimmten Variablen der LGS LGλi (12) Eigenvektoren EVi entsprechend der Reihenfolge der Eigenwerte λi zeilenweise (13) Zusammensetzen der EV zur Matrix T (14) Bestätigung der Diagonalisierung T-1 A T = diag( λi )

DiagonalisierenMitEigenvektorenRn

Beispiel zur Anwendung

Beispiele A:={{1, 1, 0 , 0},{1 , 1 ,-2 , 0 },{0 , 0 , 1 , -3 },{0, 0 , 0 , 7}} A:={{0, 0, 0, 3}, {1, 1, 0,-1}, {0, 0, 2, 0},{1, -1, 0, 1}} A:={{5, 0, 1 , -1},{0 , -3 , 0 ,0 },{0 , 0 , 4 , -4 },{ 1, 1 , 1 , 0}} A:={{0, 0, 0 , 1},{1 , 0 ,0 , 0 },{0 , 1 , 0 , 0 },{ 0, 0 , 1 , 0}} A:={{1, 1, 0 , 0},{1 , 1 ,-2 , 0 },{0 , 0 , 1 , -3 },{0, 0 , 0 , 7}} A:={{2, -3, 1}, {3, 1, 3},{-5, 2, -4}} A:={{-2, 5, 3}, {0, 2, 0}, {-4, 5, 5}} A:={{0, -2, 1}, {2, -1, -1}, {-2, -2, 3}} A:={{-1, 3, -2}, {2, 6, -5}, {2, 8, -7}} A:={{0, 2},{2 , 3 }} A:={{3, 2},{2 , 6}} Elementarmatrizen: Zeilen/Spalten-Operationen Ex(zle,spl,k_f):=Sequence(Sequence(Element(Identity(n), zz,ss)-1*(zle==spl && zle==zz && spl==ss)*1+If(zz==zle && ss==spl,k_f,0),ss,1,n),zz,1,n);Toolbar Image Ex(a,b,c) A: Addiere c*Zeile b zu Zeile a (Zeile a + c*Zeile b) ===> Multiplikation von Links A Ex(a,b,c): Addiere c*Spalte a zu Spalte b ===> Multiplikation von Rechts Zeilen/Spaltentausch Tx(zz,ss):=Sequence(Element(Identity(n), If(kk≠zz ∧ kk≠ss,kk,If(kk=zz,Max(zz,ss),Min(zz,ss)))),kk,1,n); Toolbar Image

Hauptvektorsuche

Ergänzungen zur Hauptvektorsuche (Add Cells) (16) HVi=2; der auf Hauptvektoren zu untersuchende EW(HVi) (17) N:=3; Potenz (A- λ E)^N um für den Eigenraum genügend Kandidaten (21), entsprechend alg. Vielfachheit von λ, zu erzeugen (19) LGHV1:=(A - EW(HVi) E)^N (20) LHV1:=Solutions(LGHV1 X,X) (21) HVKandidaten1u:=Transpose(If(LHV1 ≠ {},Substitute(Sequence(If(Element(LHV1,1,j) == Element(X,j),Flatten(Substitute(LHV1,Element(X,j) = 1)),0),j,1,n) \ {0},X = X0),{})) Auswertung der Lösung LHV1 mit Darstellung der HV in Spalten der Matrix (22) KernHV1:=(A - EW(HVi) E)^(N - 1) HVKandidaten1u N>2: Kandidaten 1. Stufe prüfen - HV dürfen keine {0} Vektorspalte in KernHV1 haben (23) u:=4 Ausgewählte Spalte von HVKandidaten1u ==> HV-Folge (Jordanblock) über die ausgewählte Spalte u (24) HV1u2:=(A - EW(HVi) E) HVKandidaten1u (25) HV1u1:=(A - EW(HVi) E) HV1u2 u1=HV1u1(u), u2=HV1u2(u), u3=HVKandidaten1u(u) - die HVs müssen eine Basis ergeben (26) T:= Transpose(Join(Take(EVi,1,2),{HV1u1(u),HV1u2(u),HVKandidaten1u(u)} ) ) Take EVs and Append HVs - in diesem Fall werden die ersten zwei EVs und die HVs aus Spalte 4 der ersten HV-Stufe ausgewählt

Hauptvektorsuche R4

Hauptvektorsuche R4
A:={{2,1,0 ,0},{0 , 1 , 0 ,1 },{0,0,3,0},{0 ,-2, 0 , 4 }}

JordanNormalform mit Eigenvektoren Rn+Hauptvektor suche für λi - Hinweise zur Behandlung von Rundungsfehlern