Lema de Haruki
Se tienen en una circunferencia dos cuerdas AB y CD que no se intersecan, y un punto P en el arco AB que no contiene a CD. Los segmentos PC y PD cortan a la cuerda AB en dos puntos E y F. Se tiene entonces que el cociente (AE·FB)/EFes constante, independientte de la posición del punto P en el arco AB.
Se obtiene el mismo resultado naturalmente empleando el círculo que paso por P, F y C, obteniéndose otro punto H' en la prolongación de la cuerda AB y a la misma distanccia k de A.
El Teorema de la Mariposa se obtiene como un sencillo corolario de este lema, propósito con el que lo demostró Hiroshi Haruki.