Lokální extrémy funkce, Lagrangeovy multiplikátory

Lokální extrém funkce dvou proměnných

Předpokládejme, že je plocha zadána diferencovatelnou funkcí z = f(x,y). Nutnou podmínku, aby regulární plocha z = f(x,y) měla v bodě T lokální extrém je vodorovná tečná rovina. Gradient plochy v regulárním bodě T musí být nulový vektor. Vázané extrémy Pokud nás nezajímá jen samotný extrém funkce z = f(x,y), ale omezíme definiční obor v rovině (x,y) nějakou další vazební podmínkou, mluvíme o vázaných extrémech. Rovnice y = v(x) je řídící křivkou obecné válcové plochy, která je tvořena přímkami rovnoběžnými s osou z. Extrémy hledáme na průnikové křivce válce y = v(x) a plochy z = f(x,y). Složitější je hledání extrému funkce vázaných nějakou další podmínkou g(x,y) = 0, kterou nelze zadat explicitně nebo parametricky. Nejznámější metodou, jak nalézt takové vázané extrémy, je metoda Lagrangeových multiplikátorů. Geometrický princip je stejný: Podmínka g(x,y) = 0 určuje řídící křivku válcové plochy s vertikálními přímkami. Průnikem válcové plochy g(x,y) = 0 a plochy z = f(x,y) je křivka k a na ni hledáme extrém. Takový extrém bude právě v bodě, kde se křivka k dotýká nějaké vrstevnice plochy z = f(x,y), tedy vektory gradientů budou lineárně závislé .

Užití Lagrangeových multiplikátorů

Najděte minimum funkce z = xy za podmínky dané rovnicí c: .
Označme funkci zadávající plochu z = f(x, y) a omezující vazbu g(x, y) = 0. Sestrojme Lagrangeovu funkci L(x, y) = f(x, y) - λ g(x, y) Stacionární bod Lagrangeovy funkce: L'x (x, y) = 0 a L'y (x, y) = 0 je bod podezřelý z extrému. Na hyperbolickém paraboloidu z = x . y a hyperbole x2 3xy + y2= 20 máme Langrangeovu funkci L(x, y) = x . y - λ (x2 3xy + y2 20) Hledáme stacionární bod L'x (x, y) = y 2λx + 3λy = 0 a L'y (x, y) = x + 3λx 2λy = 0 Nepřehlédnutelnou komplikací této metody je, že nám přibyla další neznámá - multiplikátor λ. Úpravame se snažíme jej vyloučit z hledané vazby. V našem případě toho dosáhneme, sečteme-li obě rovnice a vytkneme člen (x+y). (x+y)(1+λ)=0 Odtud máme jednoduchou vazbu pro extrémy nad hyperbolou: x = y. Dosazením do hyperboly získáme souřadnice extrémů. Funkce z = x.y má dvě minimální hodnoty nad hyperbolou: v bodech Min1 = (2, 2) a Min2 = (2, 2).

Úloha na vázaný extrém (Calculus 1)