Operaciones de números con signo

La necesidad de contar

Muy probablemente el primer acercamiento que recuerdas haber tenido a los números negativos fue algo como lo siguiente:

Piensa en un momento en los gastos personales que tienes durante un día como llenar el tanque de gasolina, surtir la despensa, renta, luz, etc. Esos gastos los podemos representar como números negativos ya que son gastos, por otra parte nuestro salario representaría los números positivos. Veamos un ejemplo: Ingreso semanas $600 Gastos semanales
Gasolina $35.00
Despensa $ 80.00
Otros $ 145.00
Nuestros gastos los representamos con el signo de menos y los ingresos con el signo de mas (Si no tiene signo, indica que es positivo) Sumamos los signos negativos (aunque parezca contradictorio) y se los restamos al número positivo. Referencia: https://www.spanishged365.com/145/operacion-de-numeros-con-signos

Lo cual funciona perfectamente como acercamiento al tema, o por lo menos hasta el punto en que llegamos al

. En este texto analizamos una forma distinta del significado del

Viendo distinto el significado de negativo ¿Qué es precisamente un número negativo? Una forma interesante de verlos es como antónimo direccional de los números positivos. Un número es una representación (una metáfora) que el hombre creó para solucionar un problema o satisfacer una necesidad, precisamente la de contar. Imagina a un pastor que no tiene idea de qué es un número y que desconoce el significado de las palabras "sumar" y "restar". Un buen día tiene que sacar a pastar a su rebaño y se tiene que asegurar que no falte ni un solo borrego a su regreso, ¿cómo se asegura de esto? Este pastor encuentra una solución sencilla: al salir de su granja con los animales se hace de una bolsa pequeña donde va añadiendo una piedrita por cada cabeza que sale, para que a su regreso cuando este reuniendo a su rebaño lo único que tenga que hacer es quitar (lo contrario a "añadir") piedritas por cada animal que vaya entrando a su propiedad, así hasta asegurarse que la bolsa quede vacía; de esta forma si en su bolsa quedan piedras sabrá que faltan animales, uno por cada piedrita restante. En la analogía anterior se toca una naturaleza intangible pero necesaria de los números: representar en base a otro objeto la existencia de algo tangible. Conforme el hombre avanzó en la historia dejó de requerir objetos para representar objetos (piedras-borregos) y pasó a utilizar símbolos para representar objetos (números-objetos), símbolos que son abstracción del pensamiento humano. Es interesante la comparación de los significados de Contar (el significado aquí dado) con Medir (Comparar una magnitud en base a otra). Lo contrario a añadir es... Quitar. Lo contrario a avanzar es retroceder, así lo contrario a un número positivo es lo que denominaremos un número negativo. Vamos a usar la tan reciclada recta numérica para nuestros fines:

[color=#00ffff][i][color=#9900ff][size=85]Representación de [math]+4[/math][/size][/color][/i][/color] — *Representación de*

Partimos desde el no tener "nada" (llamémosle cero) hasta el tener

objetos. Si partimos desde el cero, es necesario movernos o "añadir" a la derecha las unidades requeridas. Así podemos empezar a definir la operación de la suma como "una secuencia de movimientos hacia un mismo sentido" tomando que "la derecha" es nuestro sentido lógico de avance. Basándonos en lo anterior encontramos formas interesantes de representar gráficamente sumas. Demos por ejemplo la siguiente operación (así, con ese signo de "+" al principio):

[color=#00ffff][i][color=#9900ff][size=85]Representación de [math]+4+2+3[/math][/size][/color][/i][/color] — *Representación de*

Ahora hagamos la gráfica de

[color=#00ffff][i][color=#9900ff][size=85]Representación de [math]4+2+3[/math] nota que para esta representación no partimos desde el cero, sino desde el 4[/size][/color][/i][/color] — *Representación de nota que para esta representación no partimos desde el cero, sino desde el 4*

Claramente ambos resultados son el mismo, sin embargo aquí hemos dotado de significado gráfico distinto a cada expresión: mientras en la primera añadimos progresivamente

partiendo de cero, en la segunda nuestro punto de partida es el mismo número

. Te podrás preguntar ¿cuál es la finalidad de esto? Bueno en realidad es algo muy simple y obvio pero necesario de poderlo analizar:

Pues ambas expresiones llegan al mismo punto en una recta numérica y al final representan lo mismo: existen 4 de algo que pudieron haber estado ya presentes o bien se añadieron más adelante. Así si un número no tiene "signo" entonces se entiende como positivo. Ya casi tenemos todo listo para definir a los "negativos", pero primero vamos a entender la multiplicación. Multiplicar es una forma abreviada de hacer varias sumas. Resulta lógico pensar en la necesidad de crear el operador ante posibles cuentas gigantescas: tal vez alguien que estaba empacando algún producto en cajas o bolsas en las que caben solo cierta cantidad de artículos, y así para tener una cuenta rápida solo necesitaba contar el número de contenedores y concluir que ese era el número de veces que se repetía el número de artículos por cada caja/bolsa. De esta forma es que aparece el operador de multiplicación como una forma de invocar la palabra veces.

léase "8 veces 5" nos da como resultado exactamente lo mismo que

(conocida como ley conmutativa de la multiplicación). De esta forma vamos a agregar una definición más a lo que tenemos hasta el momento: el

. Hablemos de este número como el "padre" de los negativos. Este nuevo número

permite convertir a los números naturales en números negativos cuando son multiplicados por él. Así por ejemplo se encuentra que

es el resultado de

que igual lo podemos expresar (por mera comodidad) como

. Podemos concluir de esto que cualquier número considerado como negativo es en realidad el producto de un número natural con

Con esto procedemos a empezar a tratar a un número negativo. Lo más simple pára explicarlos es regresar a la recta numérica. Recordarás que definimos la suma como una secuencia de movimientos en solo sentido, pues bien el hecho de que el número sea negativo nos mandará, en esta nueva definición, que el sentido al que vamos a hacer el movimiento deberá de ser en realidad el contrario.

[i][color=#9900ff]Movimientos "negativos" y "positivos"[/color][/i] — *Movimientos "negativos" y "positivos"*

Es indispensable prestar especial atención a las palabras: ver el signo negativo (el

) en nuestros números nos señala en realidad que el movimiento es en sentido contrario al que teníamos definido en un principio. Esto es bastante diferente de la tradicional afirmación de positivo-derecha negativo-izquierda. Vamos a ejemplificar: El

que se compone de

habla de que era necesario movernos hacia la derecha del cero 5 unidades (aquí solo nos estamos enfocando en el 5), sin embargo el signo negativo (el

) nos dice que la dirección del movimiento original que habíamos planteado debe de ser invertida.

[color=#9900ff][i][math]-5=(-1)(5)[/math] Aquí el 5 indicaba un movimiento hacia un sentido (seleccionado "a la derecha" por conveniencia, color negro) mas el (-1) obliga a cambiar la dirección del movimiento al sentido contrario, color azul[/i][/color] — Aquí el 5 indicaba un movimiento hacia un sentido (seleccionado "a la derecha" por conveniencia, color negro) mas el (-1) obliga a cambiar la dirección del movimiento al sentido contrario, color azul

Así por ejemplo se tiene que

es en realidad el resultado del producto de

. Podemos ver ek

como estamos acostumbrados a hacerlo siempre:

mas ahora agregando que la presencia de ese

hace que la dirección del movimiento cambie. ¿Cuál es la magia de todo esto? Es simple y elegante al ser una manera ultra-intuitiva del tradicional

. Imagina un producto

. Tal vez de tener

lo podemos expresar como "6 veces -4" o bien "4 veces -6" (en el caso de

) donde se obtiene

. Sin embargo al llevarlo al primer problema perdemos un gran sustento: la intuición. Analiza el

. ¿Puede el lector escribirlo de otra forma? ¡Claro que sí!

. Esta expresión podemos reescribirla usando la ley conmutativa de la siguiente manera:

y ahora nuestra interpretación se transforma a lo siguiente: Reliza el cálculo peculiar de

y ahora concéntrate en ese par de

's. Uno de ellos (no importa cuál) te pide que cambies el sentido de tu movimiento (24) al sentido contrario del que estaba dirigido (no "a la izquierda", la palabra clase es la remarcada). Ahora considera el otro

. En este paso el lector se habrá percatado que en esta operación se pidió un doble cambio de dirección: de ir a la derecha que era el sentido original, se hizo un cambio a la izquierda provocado por el primer signo, y después se regresó a la dirección inicial por consecuencia del segundo signo. dejando como resultado final 24. Podríamos decir que el par de

se anularon mutuamente por esos cambios de dirección ¿De qué otra forma puedes obtener el mismo resultado de 24? Más allá de propuestas de diferentes múltiplos vamos a hacer manipulaciones con los signos: ¿Qué tal

? Si observamos detenidamente el 24 generado por el producto de

se mantiene, mas los números negativos

también, sin embargo al contar la cantidad de los mismos podemos obervar el resultado de los cambios de dirección:

inicial: derecha
primer signo: izquierda
segundo signo: derecha
tercer signo: izquierda
cuarto signo: derecha

Al final la dirección dominante se quedó en la derecha. ¿Qué ocurre con

? En esta ocasión se ha agregado intencionalmente un quinto signo. De nueva cuente se tiene 24 como magnitud de avance, pero los signos causan la siguiente dinámica de direcciones:

inicial: derecha
primer signo: izquierda
segundo signo: derecha
tercer signo: izquierda
cuarto signo: derecha
quinto signo: izquierda (posición final en -24)

¿Qué se requiere para regresar a nuestra posición de 24? El lector puede responder: un signo negativo adicional. En cierto modo podemos hacer una nueva descripción del dichoso

en base a esta nueva definición de "negativo" en términos de dirección de desplazamiento:

El producto de una cantidad par de números negativos devuelve un resultado con movimiento positivo, esto debido a que los cambios de dirección de cada negativo se anulan entre sí en parejas. Encontramos así que es solo un caso específico de donde la cantidad de negativos deberá de ser par, en caso de ser impar la dirección final del movimiento será "negativa"