CASSINI, Wurzel und Umfangswinkel

CASSINI, square roots and inscribed angle theorem

10.11.2020

  • Wo schneiden sich die Geraden zweier Geradenbüschel unter einem vorgegebenen fixen Winkel?
  • Wo berühren sich die Geraden zweier Geradenbüschel?
  • Wo schneiden sich die Geraden zweier Geradenbüschel senkrecht?
  • Wo schneiden sich die Kreise aus zwei hyperbolischen Kreisbüscheln unter einem vorgegebenen fixen Winkel?
  • Wo berühren sich die Kreise aus zwei hyperbolischen Kreisbüscheln?
  • Wo schneiden sich die Kreise aus zwei hyperbolischen Kreisbüscheln orthogonal?
  • Zwei Geraden durch zwei verschiedenen Punkte schneiden sich unter einem vorgegebenen fixen Winkel (eigentlich modulo 180°) auf einem Kreis durch die beiden Punkte: Satz von Fass-Kreis, Peripherie-Winkel-Satz.
  • Zwei Geraden durch zwei verschiedene Punkte berühren sich in , wenn sie parallel sind.
  • Zwei Geraden durch zwei verschiedene Punkte schneiden sich auf dem THALES-Kreis senkrecht.
Der Ort, auf welchem sich die Kreise aus zwei hyperbolischen Kreisbüscheln mit unterschiedlichen Grundpunkten unter einem vorgegebenen fixen Winkel schneiden, ist möbiusgeometrisch eine CASSINI-Kurve. Eine CASSINI-Kurve entsteht aus einem Kreis unter der komplexen Wurzel-Funktion.
Ein hyperbolisches Kreisbüschel besteht aus den Kreisen durch zwei verschiedene Punkte, den Grundpunkten des Büschels. 4 verschiedene Punkte in lassen sich mit einer Möbiustransformation auf Punkte , für ein abbilden. Die Grundpunkte der beiden hyperbolischen Kreisbüschel im Applet oben seien f11, f12 = -f11 und f21 = 1/f11, f22 = -f21. Quadriert erhält man die Punkte f112 (= f122) und f212 (= f222). In Polarkoordinaten ist f11 . Dieser Grundpunkt ist beweglich. move f11. Die Kreise über der Strecke f112_f212 sind Peripherie-Winkel-Kreise zum Winkel (modulo 180°). Der Mittelpunkt m dieser Kreise ist beweglich. Aus diesen Kreisen: werden unter der komplexen Wurzel-Funktion die CASSINI-Quartiken
  • mit und sind 2 der im Allgemeinen 4 Brennpunkte einer CASSINI-Quartik.
Die "Brenn"-Kreise (rot und blau) aus den beiden hyperbolischen Kreisbüscheln schneiden sich in den Punkten z der CASSINI-Quartik unter konstantem Winkel . Bei geeigneter Orientierung der Winkel besteht zwischen dem Peripherie-Winkel , dem CASSINI-Schnittwinkel und dem Lage-Winkel zu f11 die Beziehung
  • modulo 180°
Die "Brenn"-Kreise (rot und blau) aus den beiden hyperbolischen Kreisbüscheln berühren sich auf der CASSINI-Quartik, wenn der Mittelpunkt m des zugehörigen Peripherie-Winkel-Kreises auf der -Achse liegt. Die "Brenn"-Kreise (rot und blau) schneiden sich senkrecht auf der CASSINI-Quartik, wenn der Mittelpunkt m auf der -Achse liegt. Dies beantwortet die eingangs gestellten Fragen.

Anmerkungen

Sonderfälle:
  • Die Büschelpunkte liegen auf einem Kreis (hier: auf dem Einheitskreis) oder auf einer Geraden (zB. auf der -Achse).
  • Die Büschelpunkte liegen harmonisch: zB. in den Schnittpunkten des Einheitskreises mit den Winkelhalbierenden.
Siehe hierzu die Aktivität CASSINI, Wurzel und Umfangswinkel -2- Unter welchen Bedingungen zerfällt die Quartik in 2 Kreise? Die Kurven, die ein hyperbolisches Kreisbüschel unter konstantem Winkel schneiden, sind die Loxodrome. Die blauen Loxodrome des Büschels f11, f12 zum Winkel berühren auf der CASSINI-Quartik die roten Kreise des 2.ten Büschels. Parameterdarstellung der CASSINI-Quartiken:
Parameterdarstellung der Loxodrome mit den Grundpunkten f, -f durch den Punkt p zum Winkel :
  • mit siehe unten.
Wurzeln und Quadrieren in
Da hilft der Höhensatz: die Höhe im einem rechtwinkligen Dreieck mit den Hypotenusenabschnitten 1 und beträgt . Genaueres Im geogebra-book Möbiusebene, insbesondere in den Kapiteln: Lage von 4 Punkten Kreisbüschel und lineare Vektorfelder Berührorte und Cassini-Kurven