Vectores característicos y valores característicos
- Autor:
- Sebastian Juncos
- Tema:
- Vectores
Valor característico y vector característico
Sea una transformación lineal. En muchas ocaciones resulta útil encontrar un vector en tal que , es decir, encontrar un vector y un escalar de tal forma que al transformar , se transforme en un vector paralelo.
Sea una matriz de asociada a . El número se denomina valor característico de , si existe un vector no nulo tal que:
El vector se denomina vector característico de correspondiente al valor característico .
Ejemplo de vectores característicos y valores característicos.
En el ejemplo anterior podemos observar que el vector característico correspondiente al valor característico es ; y el vector característico correspondiente al valor característico es
Determinación de los valores característicos y vectores característicos
Supongamos que es un valor característico de , entonces existe un vector tal que
Reescribiendo esto se tiene que
Si es una matriz de , esta ultima ecuación corresponde a un sistema homogéneo de ecuaciones con las incógnitas . Como se ha supuesto que el sistema cuenta con soluciones no triviales, se concluye que . De forma inversa, si , entonces la ecuación tiene soluciones no triviales y es el valor característico de
Teorema
Sea una matriz de . Entonces es un valor característico de si y sólo si:
Esta ecuación se denomina ecuación característica de , y se denomina el polinomio característico de .Procedimiento para calcular los valores característicos y vectores característicos.
1) Se encuentra .
2) Se encuentran las raíces de .
3) Se resuelve el sistema homogéneo , correspondiente a cada valor característico .
Cálculo de valores y vectores característicos
Haciendo uso de la vista CAS, encuentre los valores y vectores característicos de la siguiente matriz: