Fakultativ: Streckung in x-Richtung und Spiegelung an der y-Achse
2. Streckung in x-Richtung
Anders als bei den bisherigen Betrachtungen, die wir gemacht haben, können wir bei der Streckung in
-Richtung nur auf wenig Vorwissen zurückgreifen, weswegen dieser Abschnitt die meisten Verständnisschwierigkeiten in sich birgt. Du solltest dir für die Bearbeitung also genügend Zeit nehmen und alle Schritte so gut wie möglich nachvollziehen und durchdenken.
(I) Potenzfunktionen
Bevor wir mit den Potenzfunktionen beginnen, werfen wir einen kurzen Blick auf die Sinuskurve, an der Streckungen in -Richtung besonders leicht erkennbar sind.
Aufgabe:
Vereinfacht können wir uns auf die Funktion mit und die Funktion mit beschränken. Gib im GeoGebra-Applet Sinusfunktionen mit verschiedenen Werten für ein und vergleiche die Graphen.
Aufgabe:
a) Gib eine Gleichung an, die den Zusammenhang zwischen und herstellt (Lösung unten).
b) Betrachte nun die Funktionen mit und mit im GeoGebra Applet. Gib den Streckungsfaktor an, mit dem der Graph von in -Richtung gestreckt wird (Lösung unten), indem du die Lage sich entsprechender Punkte (bspw. Hochpunkte oder Tiefpunkte) vergleichst.
Versuchen wir nun zu den Potenzfunktionen überzugehen.
Im Folgenden betrachten wir erst einmal nur .
Aufgabe:
a) Variiere die Schieberegler für den Exponenten und den Parameter . Beschreibe (mündlich), wie sich der Graph der Funktion (rot) im Vergleich zum Graphen von (schwarz) verändert.
b) Notiere die Funktionsgleichung von . Überprüfe deine Lösung, indem du die Gleichung einblenden lässt. Erkläre, wie der Funktionsterm zustande kommt und worauf man unbedingt achten muss. Du darfst den Hinweis verwenden, wenn du nicht auf das richtige Ergebnis kommst.
Hinweis: Orientiere dich an den Vorüberlegungen, die wir zur Sinusfunktion gemacht haben! ;)
c) Stelle nun die Regler auf und . Blende die Pfeile und Wertetabelle ein (du musst wahrscheinlich zoomen, um alles richtig erkennen zu können). Vollziehe die folgende Erklärung nach. Du kannst dir eine Hilfe zur Wertetabelle einblenden lassen.
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Erklärung (exemplarisch für zwei Funktionswerte: und ):
Es gilt: .
Wollen wir berechnen, so müssen wir also berechnen.
(1) Zunächst starten wir bei (bzw. ).
(2) Nach obiger Gleichung muss man nun zuerst den -Wert mit multiplizieren.
Hier erhalten wir also (bzw. ).
(3) Zum neuen -Wert aus (2) berechnen wir nun den Funktionswert von (bzw. .
(4) Den in (3) berechneten Funktionswert tragen wir nun als Funktionswert zum ursprünglichen -Wert an.
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Wir erkennen, dass die Punkte auf dem Graphen von weiter von der -Achse wegbewegt werden (Schritt (4): Pfeile zeigen weg von der -Achse). Der Graph wird also gestreckt.
d) Nimm jetzt die Einstellung vor. Erkläre (schriftlich) analog zu c), wieso eine Stauchung des Graphen von vorliegt. Vergleiche deine Lösung mit einem Mitschüler.
(II) Ganzrationale Funktionen
Da du dich im vorherigen Abschnitt ausführlich mit der Streckung in -Richtung beschäftigt hast, dürfte der Schritt zu den ganzrationalen Funktionen ein Klacks werden! :)
Die Ergebnisse aus (I) lassen sich übertragen. Wir machen uns das anhand eines Beispiels plausibel.
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion mit . Ihr Graph soll mit dem Faktor 3 in -Richtung gestreckt werden. Nutze die GeoGebra-Applets unten als Hilfsmittel.
a) Bestimme den Parameter und begründe, ob eine Streckung oder Stauchung des Graphen von vorliegt.
b) Bestimme die Funktionsgleichung zur Funktion , deren Graph aus dem von durch die obige Streckung hervorgeht (Lösung unten).
Grafikfenster zu a)
CAS zu Aufgabe b)
Lösung:
(III) Spiegelung an der -Achse
Da wir bislang nur betrachtet haben, ist es wenig überraschend, dass die Spiegelung eines Graphen an der -Achse vom Vorzeichen des Parameters abhängt.
Aufgabe:
a) Gib ein beliebiges Polynom ein (grünes Feld). Die zugehörige Funktion heißt .
b) Gib ein Polynom ein (blaues Feld), das zu einer Funktion gehört, deren Graph durch Spiegelung des Graphen von an der -Achse hervorgeht.
Hinweis: Wenn du nicht auf die Lösung kommst, blende die gesuchte Funktionsgleichung von ein und überlege dir, wie man vom Funktionsterm von zum Funktionsterm von kommt.
c) Blende nun den Graphen von , Punkte, Pfeile und die Wertetabelle als Hilfsmittel ein. Erkläre anhand der Hilfsmittel, wie es zur vorliegenden Spiegelung kommt (Lösung unten).
Juhu! Es ist wieder an der Zeit dein Wissen auf's Papier zu bringen!
Das passende Arbeitsblatt möchte ausgefüllt werden! ;-)
Hinweis: Verwende die Applets oben und trage an geeigneten Stellen farbige Pfeile im Koordinatensystem und der Wertetabelle an, um das Vorgehen zu veranschaulichen.
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