Triángulo pedal rectángulo, acutángulo u oblicuángulo
El triángulo pedal de un punto P respecto de un triángulo △ABC es el que tiene por vértices las proyecciones perpendiculares D, E y F de P sobre los lados del triángulo. Puede definirse para cualquier punto del plano, en el caso de los vértices de △ABC degenera en una altura, pero para puntos exteriores a △ABC o cuando este es obtusángulo, no estará inscrito en el △ABC.
Para puntos interiores a un triángulo △ABC acutángulo, el lugar geométrico de los puntos P para los que el triángulo pedal es rectángulo, está formado por los tres arcos capaces de los lados, de amplitud el ángulo opuesto más π/2. En la demostración se utiliza que los ángulos inscritos en una semicircunferencia son rectos y su contrario, que los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales, y que los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito son suplementarios.
Se puede parar la animación con el control de la esquina inferior izquierda y mover entonces el punto P con el deslizador a lo largo del lugar geométrico. También pueden desplazarse los vértices.
Si △ABC es rectángulo, uno de los arcos deviene en la hipotenusa. Si es obtusángulo, el arco correspondiente al ángulo obtuso se encuentra en el mismo semiplano, de los definidos por el lado, que el vértice, siendo por tanto exterior al triángulo.
Limitándonos a triángulos △ABC acutángulos, el triángulo pedal será acutángulo cuando P este situado en el recinto limitado por los tres arcos, y obtusángulo cuando se encuentre entre estos y los lados del △ABC.
¿Qué área del triángulo corresponde a los puntos P que originan un triángulo obtusángulo? Es el área de los tres segmentos circulares delimitados por los arcos capaces y los lados. Hallemos la del correspondiente al lado c.
Es la diferencia entre el área del sector circular scAC'B y el triángulo isósceles △AC'B.
Para el sector circular, tenemos que el ángulo es
∠AC'B = π - 2∠C'AB = π - 2γ
mientras que el radio es
C'AB=C'B = (c/2)/cos γ
Por tanto, el área del sector es
[scAC'B] = ½(π - 2γ)(c/(2 cos γ))² = (π - 2γ)c²/(8cos² γ)
Para el △AC'B, su base es c y la altura es (c/2) tg γ, por lo que su área es
[△AC'B]=½ c (c/2) tg γ =¼ c² tg γ
Por lo que queda para el segmento sgAB
[sgAB]= (π - 2γ)c²/(8cos² γ) - ¼ c² tg γ
Y de la misma forma para los otros,
[sgBC]= (π - 2α)a²/(8cos² α) - ¼ a² tg α
[sgCA]= (π - 2β)b²/(8cos² β) - ¼ a² tg β
Por tanto, si P está distribuido con densidad de probabilidad uniforme en el interior del △ABC, la probabilidad de que el triángulo pedal de P sea obtusángulo es la suma de las áreas de los tres segmentos entre el área del triángulo. Para acutángulos será la complementaria, puesto que la probabilidad de que sea rectángulo es nula, al tener área cero el conjunto de puntos correspondientes.
Para el caso de un triángulo equilátero, α = β = γ = ⅓ π y a = b = c, queda para el área de los segmentos
[sgAB] = [sgBC] = [sgCA] = ⅙ π a² - ¼ √3 a²
Teniendo en cuenta que la superficie del triángulo equilátero es S = ¼ √3 a², queda para la probabilidad de triángulos obtusángulos y acutángulos
P(obt) = S(obt)/S = (2π/√3 - 3) ≅ 0.6275987284
P(acu) = S(acu)/S = (4-2π/√3) ≅ 0.3724012715