Identifiziere die Ortskurve
SfS Identifiziere die Ortskurve
Basisversion - rein geometrische Veranschaulichung
Hier kann die Kurve nur aufgrund der visuellen Betrachtung der entstehenden Ortskurve vermutet werden.
Erweiterung 1: Hinführung zur analytischen Beschreibung
Bemerkung: Um die Ortskurve des Höhenschnittpunktes analytisch zu beschreiben, muss die Seite c parallel zur x-Achse ausgerichtet werden.
Erweiterung 2: verbesserte experimentelle Untersuchung
Durch Variation der Parameter a, b und c kann die Ortskurve näherungsweise ermittelt werden.
Die vorgegebene Konstellation sollte nun auch dahingehend variiert werden, dass auch die Lage der Punkte A und B verändert wird, insbesondere sowohl nicht mehr symmetrisch zur y-Achse als auch in y-Richtung. Zu beachten ist dabei jedoch, dass die Dreiecksseite c für eine analytische Beschreibung der Kurve parallel zur x-Achse bleibt.
Erweiterung 3: Bestimmung der Ortskurve mittels CAS
Erläuterung des Vorgehens:
- Die Dreiecksseite c muss parallel zur x-Achse liegen, da ansonsten die Parabel gedreht wird
(siehe Basisversion) und so nicht mehr als Funktion dargestellt werden kann.
- In dieser Lage sind die x-Koordinaten der Punkte H und C identisch. Die y-Koordinate des
Höhenschnittpunkts in Abhängigkeit von xc stellt gerade den Funktionsterm der Ortskurve
dar, wenn xc als Variable angesehen wird.
- Berechnung von yH:
Zunächst wird die lineare Funktion bestimmt, die die Höhe hb beschreibt. In deren
Funktionsterm wird xc eingesetzt. yH stellt dann gerade den Funktionsterm der Ortskurve (in
Abhängigkeit von xc) dar.
Zeile 1 - 3: Die benötigten Punkte werden mit allgemeinen Koordinaten definiert:
Da A, B, C belegt sind, werden diese mit A1,... bezeichnet. Die Koordinate xc dient
später als Variable und wird somit gleich als x bezeichnet.
Zeile 4: Die Steigung m der linearen Funktion, die die Höhe hc beinhaltet, wird berechnet.
Zeile 5: Der y-Achsenabschnitt h wird berechnet. Dies erfolgt mittels einer Punktprobe mit
B(xB / yB) und der „halb fertigen“ linearen Funktion yB = mxB + h.
Zeile 6: Der Funktionsterm q der Ortskurve wird berechnet: x als Variable wird mit den oben
berechneten Variablen m und h kombiniert.
Zeile 7: Die Funktionsgleichung der Ortskurve wird bestimmt. Hierzu wird g(x) durch die
Syntax "g(x):=" als Funktion definiert, der explizite Term wird bestimmt, indem in
den Term q die entsprechenden Koordinaten (die aus dem Grafikfenster bekannt sind)
durch Benutzung des "Ersetze(..."-Befehls eingesetzt werden. Die Ausgabe des
Funktionsterms erfolgt in einem Textfenster wie weiter oben beschrieben.
Bemerkungen zur Beachtung:
Der Bezug auf die nun per CAS bestimmte Funktionsgleichung liefert ein deutlich schöneres Ergebnis als die in Erweiterung 2 vorgestellte einfachere Variante.