Lezione 1: percorso storico-matematico per introdurre i complessi

Questo percorso , storico-matematico , porterà gli studenti a sentire la necessità di introdurre i numeri complessi, non solo ad accettarli come un’invenzione astratta. Il percorso è strutturato in tappe logiche che legheranno la soluzione delle equazioni di terzo grado alla nascita di i, unità immaginaria , e ad una trattazione sistematica dei numeri complessi.

Facciamo un passo indietro: le equazioni di 2° grado

Si pensa erroneamente che l'introduzione dei numeri complessi sia legata alle equazioni di 2° grado. Assegnata una equazione di 2° grado: in R, le sue soluzioni sono: La quantità sotto radice quadrata è il discriminante o DELTA. Perché si chiama discriminante?

Siamo in R: spiega cosa succede quando:

Quindi, quando , cosa possiamo dire delle soluzioni delle equazioni di 2° grado in R?

Equazioni di terzo grado: cenni storici.

La risposta dei matematici al caso del DELTA <0, nelle equazioni di secondo grado, fu semplicemente accettare che in taluni casi l'equazione di secondo grado non avesse soluzioni reali. Scoprirai in questo percorso che l'introduzione dei numeri complessi è legata alle equazioni di 3° grado e non a quelle di 2° . Viene detta equazione di terzo grado o cubica un'equazione che in forma polinomiale è tale che il grado massimo dell'incognita è il terzo. Pertanto, la sua forma canonica è:

in cui

è la variabile incognita e i coefficienti numerici sono indicati da

, reali. Essendo l'equazione di terzo grado, può avere al massimo 3 radici, ovvero 3 soluzioni. Per risolvere queste equazioni è necessario scomporre il polinomio in modo da ottenere delle equazioni di primo e secondo grado che possono essere risolte tramite procedimenti e formule note.

Casi di equazioni di terzo grado risovibili con metodi noti.

Quali equazioni di terzo grado del tipo sei in grado di risolvere? 1. : 2. e : 3. equazione completa: raccoglimento parziale e/o applicazione di Ruffini. Scrivi le suluzioni delle seguentti tre equazioni di 3° grado, dopo averle svolte sul tuo quaderno: 1. 2. 3.

Equazioni di 3° grado complete e forma ridotta.

Purtroppo però non sempre è possibile ricondurre l’equazione di 3° grado ad uno dei casi visionati. Le equazioni di 3° grado che non rientrano nei casi elencati precedentemente, possono essere risolte o con metodi approssimativi o con una importante formula, detta formula di Cardano, alla determinazione della quale collaborarono matematici illustri, tra il 1500 e il 1600: Del Ferro, Tartaglia, Cardano e Ferrari Facciamo una importante premessa: Si dimostra che tutte le equazioni di terzo grado

possono essere scritte in una forma ridotta , o depressa:

Vediamo come arrivare alla forma ridotta delle equazioni di 3° grado , partendo da una equazione completa.

I METODO- Riduzione di una equazione di terzo grado in una equazione di terzo grado depressa: metodo della Traslazione

Data la seguente equazione di terzo grado, , ricondurla alla forma . Procedimento: 1. esegui un cambio di variabile (una traslazione dell'incognita) ovvero poni: . Questa sostutzione corrisponde ad una traslazione dell funzione rappresentata dal polinomio di vettore 2. sostituisci nell'equazione di terzo grado completa la nuova variabile per renderti conto che i termini di secondo grado non saranno più presenti. Procedi facendo i calcoli sul quaderno e scrivi l'equazione ridotta risultante nello spazio risposta Dovrebbe risultare Inserisci nello spazio risposta l'immagine copiata dei vostri calcoli che portano all'equazione ridotta

II METODO- Riduzione di una equazione di terzo grado in una equazione di terzo grado depressa: metodo del completamento del cubo

Un altro modo per ridurre una equazione completa di terzo grado in forma depressa è tramite il metodo del completamento del cubo. Abbiamo incontrato in passato, in diversi contesti , il metodo del completamento del quadrato. Ricordi in quale contesto?

Metodo del completamento del cubo

Assegnata l'equazione di terzo grado completa:

, vogliamo operare per ricondurla alla forma ridotta

1° passo: dividi tutta l'equazione per

; otterrai:

2° passo: completa il cubo, ovvero somma e sottrai due monomi così che insieme ai primi due termini del polinomio costituiscano il cubo di un binomio e trascrivi i termini rimanenti; otterrai:

3° passo: Riporta l'equazione scrivendo i primi 4 monomi come cubo di un binomio, e aggiungi i termini rimanenti raccogliendo l'incognita nei termini in cui compare. 4° passo: fai le opportune sostituzioni in modo da ottenere l'equazione nella forma:

Riporta tutti i calcoli che ti ha portato alla forma ridotta con un'immagine inserita nello spazio risposta.

Un po' di storia...

E' da questa equazione in forma ridotta (che possiamo vedere anche nella forma

) che parte la storia delle soluzioni di equazioni di 3° grado, in particolare quelle che non possono essere risolte riconducendole ad equazioni di grado più basso con i metodi visti sopra. La soluzione delle equazioni di 3° grado è una delle vicende più affascinanti della storia della matematica rinascimentale italiana, e coinvolge figure come Scipione del Ferro, Niccolò Tartaglia, Gerolamo Cardano e Rafael Bombelli. Scipione del Ferro, professore a Bologna, fu il primo a trovare una soluzione. Riuscì a risolvere un caso particolare di equazione cubica,

. Dopo la morte di Del Ferro, il metodo arrivò (indirettamente) a Niccolò Tartaglia, che lo riscoprì e lo estese. Tartaglia era noto per partecipare a sfide pubbliche tra matematici, e grazie alla sua scoperta riuscì a vincere importanti competizioni. Gerolamo Cardano, medico e matematico, personaggio molto discutibile, convinse Tartaglia a rivelargli il metodo, promettendo di non pubblicarlo. Nel 1539 Niccolò Tartaglia, inviò in versi a Cardano la forma risolutiva delle equazioni cubiche prive del termine di secondo grado, chiedendo però di non divulgarla. Ecco come Tartaglia svelava la soluzione della equazione di terzo grado

al suo collega Cardano:

Cardano riusci a decodificare i versi e non mantenne la promessa fatta a Tartaglia; infatti, quando venne a sapere che Del Ferro aveva già scoperto la soluzione prima di Tartaglia, ritenne di poter pubblicare il risultato senza violare la promessa.

Nel 1545 pubblicò l’opera Ars Magna, in cui presentò:

la soluzione generale delle equazioni cubiche
la soluzione delle quartiche (grazie all'aiuto del suo allievo Ludovico Ferrari)

Questo causò una forte polemica con Tartaglia. Altro personaggio fondamentale nella vicenda fu Rafael Bombelli, che intervenne qualche decennio dopo, nel 1572, con il libro L'Algebra. Il suo contributo fu fondamentale perché:

chiarì i passaggi della formula di Cardano
affrontò il problema dei numeri “impossibili” (oggi detti: numeri complessi)

In particolare, studiò i casi in cui la formula della cubica porta a radici quadrate di numeri negativi (il cosiddetto caso irreducibile), dando senso operativo ai numeri complessi. Quindi la formula risolutiva delle equazioni di terzo grado, detta di Cardano, in realtà dovrebbe essere chiamata la formula di Del Ferro, Tartaglia e Cardano. Se l'equazioni di terzo grado, in forma ridotta, la guardiamo come

si ha che la sua soluzione è:

la quantità sotto radice quadrata è il discriminante, DELTA, delle equazioni di 3°grado:

OSSERVA: Il DELTA dell'equazione di 3° ha una forma diversa rispetto al DELTA dell'equazione di 2° ; come per le equazioni di 2° grado, il segno del DELTA , sarà discriminante per le soluzioni dell'equazione.

Applicazione della formula di Cardano ad una equazione di 3° grado

Proviamo ad applicare la formula di Cardano ad una equazione di terzo grado ridotta: Scrivi la soluzione di Cardano, specificando il valore del DELTA:

Troviamo le altre radici

Nota una radice, trovata applicando la formula di Cardano, possiamo scomporre il polinomio di 3° grado come prodotto di un polinomio di 1° grado e uno di 2° (Avendo una radice, puoi applicare la regola di Ruffini per determinare la scomposizione). Dopo aver svolto i passaggi sul tuo quaderno , scrivi la scomposizione del polinomio dato e quindi le soluzioni dell'equazione di partenza di 3°. Le soluzioni dell'equazione sono tutte reali?

Equazioni di 3° grado irriducibili

La formula della equazione cubica suggerita da Cardano, a volte però, porta ad avere radici quadrate di numeri negativi (il cosiddetto caso irreducibile). Facciamo un esempio: Trova una radice con la formula di Cardano, e commenta il risultato, specificando il valore del DELTA. Scrivi il valore di tale radice e commenta il risultato ottenuto.

Cerchiamo di capire in quale situazione ci troviamo.

Interpretazione grafica delle soluzioni di una equazione. Ricordiamo che per esempio le soluzioni reali di una equazione del tipo saranno gli zeri della funzione Cosa rappresentano allora, da un punto di vista grafico, le soluzioni di una equazione di grado qualsiasi?

Rappresentazione grafica della funzione di 3° grado associata all'equazione irriducubile

la rappresentazione grafica realizzata su geogebra della funzione

, darà una idea delle soluzioni della equazione associata

Rappresenta su geogebra tale funzione e osserva gli zeri della funzione (indicali, sul grafico, con un piccolo cerchietto rosso)

Rappresentazione grafica della funzione

Osservazioni sul grafico della funzione e relazione con le soluzioni dell'equazione associata.

Osserva il grafico della funzione :

Quanti sono i punti di intersezione della funzione con l'asse delle ascisse?
In base a quanto detto precedentemente, il numero dei punti di intersezione tra la funzione e l'asse delle ascisse che indicazioni da sulle soluzioni dell'equazione associata alla funzione ?
Sapresti indicare il valore numerico preciso di almeno uno degli zeri della funzione?
Verifica algebricamente che lo zero da te individuato sia soluzione dell'equazione .

Una evidente contraddizione. Come risolverla?

Ripercorriamo i passi fatti:

applicando la formula di Cardano, abbiamo potuto verificare che nella soluzione dell'equazione compaiono radici quadrate di numeri negativi. Questo fu un grande problema per Cardano, perché i numeri negativi sotto radice non avevano ancora un significato. Quindi sembrerebbe che l'equazione non abbia soluzioni reali.

rappresentando graficamente la funzione , si deduce che essa ha tre punti di intersezione con l'asse delle ascisse, quindi che l'equazione ha tre soluzioni reali, di cui una è , come verificato anche algebricamente.
i due risultati sono evidentemente in contrasto. Tornando alla nostra storia, Gerolamo Cardano si accorse della contraddizione , ovvero che , anche quando la soluzione finale era reale , nell'applicazione della sua formula comparivano radici quadrate di numeri negativi. Dedusse che la formula in alcuni casi (equazione irriducibile con DELTA<0) non funzionasse.

Nasce la necessità di "allargare " l'insieme dei numeri reali!

Quella che a Cardano sembrava una contraddizione in realtà era un chiaro segnale che la matematica dell’epoca era troppo “stretta”. La svolta arrivò con Rafael Bombelli, che fu fondamentale per superare la contraddizione: fu il primo a trattare seriamente quei “numeri strani” che comparivano nella formula di Cardano, cioè le radici di numeri negativi. Bombelli li prese sul serio, anche se “impossibili”! Decise di usarli comunque, come strumenti di calcolo, anche se non capiva ancora cosa fossero davvero. Introdusse regole di calcolo chiare, in pratica costruì le basi operative dei numeri complessi.