Osobine skalarnog proizvoda
- Author:
- sonia7nis
Osobine skalarnog proizvoda
Skalar koji je jednak proizvodu intenziteta dva vektora i kosinusa ugla koji oni zaklapaju, naziva se skalarni proizvod vektora:
Skalarni proizvod se može izraziti pomoću projekcije jednog vektora na osu drugog vektora.
Pod projekciom vektora na osu drugog vektora podrazumevamo duž
Dakle, skalarni proizvod se može pisati i u ovom obliku:
Ako je skalarni proizvod dva vektora jednak nuli, onda je ili jedan od njih jednak nuli, ili su međusobno normalni:
Ako su vektori normalni, onda važi
Za skalarni proizvod važi zakon komutacije:
Za kolinearne vektore važi
a za jednake vektore
Za skalarni proizvod važi i zakon distribucije
dok se o zakonu asocijativnosti ne može govoriti, jer je definisan samo za dva vektora. Asocijativni zakon važi samo ako je treći činilac skalar, to jest važi:
Preko skalarnog proizvoda je relativno lako izvesti Kosinusnu, a samim tim i Pitagorinu teoremu, što ostavljam vrednim čitaocima.
Ako uporedimo dve definicije skalarnog proizvoda, dobijamo formulu za kosinus ugla između dva vektora:
.
Na osnovu definicije skalarnog proizvoda, lako računamo:
Primenom distributivnog zakona i gornjih jednakosti, lako se dolazi i do skalarnog proizvoda dva vektora zadata koordinatama:
.
Negativan rezultat nam govori da je ugao između vektora tup, pa projekcija „pada“ na drugu, negativnu stranu.
Skalarni proizvod se može izraziti pomoću projekcije jednog vektora na osu drugog vektora.
Pod projekciom vektora na osu drugog vektora podrazumevamo duž
Dakle, skalarni proizvod se može pisati i u ovom obliku:
Ako je skalarni proizvod dva vektora jednak nuli, onda je ili jedan od njih jednak nuli, ili su međusobno normalni:
Ako su vektori normalni, onda važi
Za skalarni proizvod važi zakon komutacije:
Za kolinearne vektore važi
a za jednake vektore
Za skalarni proizvod važi i zakon distribucije
dok se o zakonu asocijativnosti ne može govoriti, jer je definisan samo za dva vektora. Asocijativni zakon važi samo ako je treći činilac skalar, to jest važi:
Preko skalarnog proizvoda je relativno lako izvesti Kosinusnu, a samim tim i Pitagorinu teoremu, što ostavljam vrednim čitaocima.
Ako uporedimo dve definicije skalarnog proizvoda, dobijamo formulu za kosinus ugla između dva vektora:
.
Na osnovu definicije skalarnog proizvoda, lako računamo:
Primenom distributivnog zakona i gornjih jednakosti, lako se dolazi i do skalarnog proizvoda dva vektora zadata koordinatama:
.
Negativan rezultat nam govori da je ugao između vektora tup, pa projekcija „pada“ na drugu, negativnu stranu.