Osobine skalarnog proizvoda
Osobine skalarnog proizvoda
Skalar koji je jednak proizvodu intenziteta dva vektora i kosinusa ugla koji oni zaklapaju, naziva se skalarni proizvod vektora:
Skalarni proizvod se može izraziti pomoću projekcije jednog vektora na osu drugog vektora.
Pod projekciom vektora na osu drugog vektora podrazumevamo duž
Dakle, skalarni proizvod se može pisati i u ovom obliku:
Ako je skalarni proizvod dva vektora jednak nuli, onda je ili jedan od njih jednak nuli, ili su međusobno normalni:
Ako su vektori normalni, onda važi
Za skalarni proizvod važi zakon komutacije:
Za kolinearne vektore važi
a za jednake vektore
Za skalarni proizvod važi i zakon distribucije
dok se o zakonu asocijativnosti ne može govoriti, jer je definisan samo za dva vektora. Asocijativni zakon važi samo ako je treći činilac skalar, to jest važi:
Preko skalarnog proizvoda je relativno lako izvesti Kosinusnu, a samim tim i Pitagorinu teoremu, što ostavljam vrednim čitaocima.
Ako uporedimo dve definicije skalarnog proizvoda, dobijamo formulu za kosinus ugla između dva vektora:
.
Na osnovu definicije skalarnog proizvoda, lako računamo:
Primenom distributivnog zakona i gornjih jednakosti, lako se dolazi i do skalarnog proizvoda dva vektora zadata koordinatama:
.
Negativan rezultat nam govori da je ugao između vektora tup, pa projekcija „pada“ na drugu, negativnu stranu.