Egy mértani helyes probléma (30.)
Dobcsányi János tanár úrtól származik a következő probléma:
Az AB egyenesre az O pontjában merőleges egyenesen fut a C pont. Az O merőleges vetülete az AC egyenesen P, a BC egyenesen Q. A PQ és AB egyenesek metszéspontja R. Mi az R pontok mértani helye, ha C végigfut az egyenesen?
A GeoGebrának köszönhetően az Euklideszi geometriában könnyen juthatunk sejtéshez. (Nem volt ez mindig így.)
Úgy tűnik, hogy a keresett mértani hely egyetlen pont.
Hosszú ideig nem találtunk e sejtés bizonyítására más módot, mint a koordinátageometriás bizonyítást.
Dötsch András bizonyítása
A befogótétel, és a Menelaosz-tétel a hasonlóság következményei, ami csak az Euklideszi geometriában van. És a másik két geometriában mi van?
A hiperbolikus geometriában:
Úgy látszik, hogy a mértani hely itt is egy pont.
A gömbi geometriában:
Már megint egy abszolút geometriai tételt találtunk?