Analisi armonica
- Autore:
- Furio Petrossi
- Argomento:
- Analisi
Analisi armonica
Una serie di punti, numerati dall'"1" al "15" rappresentano un campionamento di un segnale.
Nell'analisi armonica confrontiamo le ordinate dei punti con quelle di alcune funzioni, chiamate "base".
Il confronto si ottiene moltiplicando i valori del segnale e di ciascuna delle funzioni della base e sommando poi questi valori.
Questa operazione (considerando la sequenza dei valori come componenti di vettori a più dimensioni) si chiama prodotto scalare.
Pensiamo inizialmente a segnale e base con media dei valori pari a zero: in questo caso, se base e segnale sono entrambi positivi o entrambi negativi il contributo fa aumentare la somma, mentre valori di segno opposto la fanno diminuire; il ragionamento non cambia anche se operiamo delle traslazioni in alto e in basso.Una somma con valori assoluti "più alti" indica una concordanza abbastanza buona (o una simmetria): se la somma è zero, segnale e base sono troppo diversi ("ortogonali").
Le somme vengono chiamate anche "coefficienti". In genere il valore dei coefficienti viene cambiato in questo modo:
Coefficiente_k = 2 * Somma su i di ( segnale(x_i) * cos(k x_i) ) / (numero dei punti) (la stessa cosa per sin(k x) ).
Le funzioni di confronto vengono chiamate "base" e sono scelte in modo che siano tra loro diverse (ortogonali), in cui nessuna possa essere ottenuta da una combinazione delle altre.
Qui (essendo il segnale lungo 2 pi lungo le ascisse) le funzioni scelte sono y=sin(x), y=sin(2x), y=sin(3x), y=sin(4x), y=cos(x), y=cos(2x), y=cos(3x), y=cos(4x).
Per ottenere esattamente gli stessi y negli x campionati ci vorrebbero tante funzioni quanti sono i punti, qui invece ne scegliamo la metà (quindi non una base completa).
Avremo quindi una perdita di esattezza, o di informazione sul segnale. Ce ne accorgeremo perché alcune configurazioni non potranno essere approssimate!
Aggiungiamo alle funzioni scelte la funzione y=1 che sostanzialmente ci darà l'altezza media delle ascisse.
Cambiando le ordinate dei punti da 0 a 15 (il 16 avrà lo stesso valore del punto 0 e non andrà scelto) otteniamo un'approssimazione del segnale.
- Prova a configurare i punti in modo da far assomigliare il segnale a 2+2 cos(x); cosa succede dello spettro?
- Prova a mettere i punti alternativamente su 0 e 2 [0, 2, 0, 2....]; perché mai succede quello che succede?
- Prova a mettere il cursore del mouse sui grafici tratteggiati della zona tra 2π e 4π; quale componente è più importante nel descrivere la curva?
- Siccome, ad esempio, sin(3x) e cos(3x) hanno lo stesso periodo (e stessa frequenza), si introduce un'unica grandezza descrittiva, chiamata componente spettrale per quella frequenza, facendo la radice quadrata della somma dei quadrati dei singoli coefficienti √(a²+b²); prova a configurare il segnale in modo che la componente spettrale più grande sia proprio quella relativa a sin(3x) e cos(3x) .
- Nella descrizione si è detto che Coefficiente_k = 2 * Somma su i di ( segnale(x_i) * cos(k x_i) ) / (numero dei punti) domandiamoci il perché: se tu volessi fare il prodotto scalare (somma dei prodotti) del coseno (campionato) con sé stesso, ovvero cos^2(0 ) + cos^2(1 * 2 π/16) + cos^2(2 * 2 π/16) + ... + cos^2(1 * 15 π/16), che numero otterresti? Siccome si preferisce avere il valore 1 quando una funzione di base viene confrontata con sé stessa, per che numero devo moltiplicare il prodotto scalare? corrisponde con quanto descritto per i coefficienti?