Bizirkulare Reflexion 1
Fokus: Brennpunkte, Leitkreise und Wellen
Zwei konzentrische Kreisbüschel mit den Brennpunkten F1 und F2 werden gedeutet als Quelle oder Senke von Wellenbewegungen.
Möbiusgeometrisch handelt es sich um zwei elliptische Kreisbüschel, bei beiden Kreisbüscheln ist der 2.te Büschelpunkt. Orthogonal zu den elliptischen Kreisbüscheln liegen die Geraden der Geradenbüschel durch F1 bzw. F2, hier als "Brennstrahlen" bezeichnet.
Eine Ellipse mit den Brennpunkten F1 und F2 reflektiert die Brennstrahlen so, dass sie jeweils durch den anderen Brennpunkt gehen.
Auch die von einem Brennpunkt ausgehenden Kreis-Wellen werden so an der Ellipse reflektiert, dass sie im anderen Brennpunkt "verschwinden". Hieraus erklärt sich die Deutung als Quelle oder Senke.
Die Wellen der beiden Wellenbewegungen sind einander über ihre Schnittpunkte auf der Ellipse zugeordnet. Die Schnittpunkte können komplex sein.
Verfolgt man den Verlauf einer Welle zB. von der Quelle F2 einmal mit Reflexion an der Ellipse bis zur Senke F1, zum anderen ohne Reflexion, so stellt man fest: der in der Senke F1 verschwindenden Welle entspricht gerade der Leitkreis, der zum Brennpunkt F1 gehört. Dieser Leitkreis ist zugleich ein Kreis des elliptischen Kreisbüschels um F2.
Kurz: Der zum Brennpunkt F1 gehörende Leitkreis ist sein Spieglbild unter der Reflexion an der Ellipse.
Spiegelt man den Brennpunkt an den Tangenten der Ellipse, so liegen die Spiegelpunkte auf dem zugehörigen Leitkreis.
Die obige Reflexion ist möbiusgeometrischer Natur: die Aussagen treffen zu auf zwei elliptische Kreisbüschel mit einem gemeinsamen Büschelpunkt. Der Ellipse entspricht dann dem möbiusgeometrischen Bild einer Ellipse, das sind spezielle bizirkulare Quartiken. Die Kreise des einen Büschels werden, reflektiert an dieser Quartik, zu den Kreisen des anderen Kreisbüschels. Auch die Rolle des Leitkreises als Spiegel des Brennpunktes bleibt in dieser Sicht erhalten.
Der aufgeführte Zusammenhang ist ein Spezialfall der Beziehungen von Brennpunkten, Leitkreisen und Kreisbüscheln für bizirkulare Quartiken. Fortsetzung folgt!
(11.06.2018) Dieses Arbeitsblatt ist Teil des Geogebrabooks Kegelschnitt-Werkzeuge