１１。加法定理の活用
Rの座標に着目しよう。
０。加法定理の証明に向けて
＜三角比の和差による＞
上の画像で図形を確認しよう。
・和の正弦公式を作る
点OにA、Bがあつまるように直角三角形を3つかく。
△OPQは角O＝Aで、Pが直角。△OQRは角O＝Bで、角Qが直角。△ORSは角O＝A＋Bで、角Sが直角。
点Qから辺RSにおろした垂線の足をTとすると、TSPQが長方形になり、
Aをもつ△OPQと相似な三角形が他に３つできる。特に△QRTを利用する。
AとBが鋭角で、和が90未満の場合は上の図によって証明できる。
sin(A+B)=RS/OR=
・のこりの公式
和の正弦、差の正弦、和の余弦、差の余弦の４つは、１つがわかると他も出せる。
sin(A−B)=sin(A+(-B))=sinAcos(-B)+cosAsin(-B)=
cos(A+B)=OS/OR=
または、cos(A+B)=sin(90°-(A+B))=sin((90°-A)+(-B))
=
cos(A-B)=cos(A+(-B))=cosAcos(-B)-sinAsin(-B)=
＜単位円で余弦定理＞
自分で図をかいて、自分で計算して確認しよう。
・差の余弦公式を作る
２点P(cosA,sinA),Q(cosB,sinB)を単位円上にとる。角POQ=A-B＞０でπ未満のとき、
△POQで余弦定理を使うと、
cos(A-B)=(OP²＋OQ²ーPQ²)/(2･OP･OQ）
=
角POQがπをこえるとき、cosPOQ＜０になり、２πーPOQはπをこえず、
cos(２πーPOQ）＝cosPOQだから、上記と同様。
・のこりの公式は上と同じように出せるね。
＜単位円×三角比の和差＞
冒頭のアプレットで確認しよう。
単位円Oで、角POQ＝B、角QOR＝Aとする。
斜辺OR＝１とすると、直角三角形ORQで、OQ＝cosA,QR=sinA。
直角三角形OPQで、０P＝cosAcosB,PQ=cosAsinB。
斜辺RQの直角三角形QRSを角RQC=Bとなるように、PSを直線にする。
CQ=sinAcosB,RS=sinAsinB。
すると、
sin(A+B)=点Rのｙ座標＝sin(A+B)=SQ+QP=sinAcosB+cosAsinB
cos(A+B)＝点Rのｘ座標＝OP-RS=cosAcosB-sinAsinB
１.加法定理の特徴を観察する
簡単のためにsinAをsA,cosAをｃA,tanAをtAとかくことにします。
＜和の正弦・余弦・正接＞
s(A+B)=sAcB+cAsB（スコ＋コス）
c(A+B)=cAcB-sAsB（ココースス）
t(A+B)=(tA+tB)/(1-tAtB)（和／1-積）
＜差の正弦・余弦・正接＞（符号が和と逆になる。）
s(A-B)=sAc(-B)+cAs(-B)=sAcB-cAsB（スコーコス）
c(A-B)=cAc(-B)-sAs(-B)=cAcB+sAsB（ココ＋スス）
t(A-B)=(tA+t(-B))/(1-tAt(-B))=(tA-tB)/(1+tAtB)=（差／1+積）
以下の積和公式、和積公式は上記の和と差の加法定理をペアにして
＋ーが消し合う関係性として覚えていれば自然に導かれる。
＜積→和＞
s(A+B)＋s(A-B)=2sAcBになる。だから、sAcB=1/2(s(A+B)＋s(A-B))。
s(A+B)ーs(A-B)=2cAsBになる。だから、cAsB=1/2(s(A+B)ーs(A-B))。
c(A+B)＋c(A-B)=2cAcBになる。だから、cAcB=1/2(c(A+B)＋c(A-B))。
c(A+B) ーc(A-B)=-2sAsBになる。だから、sAsB=-1/2(s(A+B)ーs(A-B))。
＜和→積＞
A+B=P,A-B=Qとすると、A＝(P+Q)/2, B=(P-Q)/2
s(A+B)＋s(A-B)=2sAcBになる。だから、s(P)＋s(Q)=2s(P+Q)/2 c(P-Q)/2。
s(A+B)ーs(A-B)=2cAsBになる。だから、s(P)ーs(Q)=2c(P+Q)/2 s(P-Q)/2。
c(A+B)＋c(A-B)=2cAcBになる。だから、c(P)＋c(Q)=2c(P+Q)/2 c(P-Q)/2。
c(A+B)ーc(A-B)=-2sAsBになる。だから、c(P)ーc(Q)=-2s(P+Q)/2 s(P-Q)/2。
（例)
sin15°==
sin15°==
cos15°==
sin75°=sin(90-15)°=cos15°=。cos75°=sin15°=
（例）y=1/5x+1とy=2x+1の作る角θのtanθは？
（例）「三角形ABCでsin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinCが成り立つ」の理由は？
A+B=180-Cなので、sin(A+B)=sinC, cosC=cos(180-(A+B))=-cos(A+B)の置き換えができる。
サインの和積と置き換えから、sin2A+sin2B=2sin(A+B)cos(A-B)=2sinCcos(A-B)
サインの加法と置き換えから、sin2C=2sinCcosC=2sinC(-cos(A+B))
左辺＝2sinC(cos(A-B)-cos(A+B))=...(展開整理）...=2sinC・2sinAsinB=右辺
（例）「三角形ABCでsinA+sinB+sinC=4cosA/2cosB/2cosC/2が成り立つ」の理由は？
A+B=180-Cから(A+B)/2=90-C/2、sin((A+B)/2)=cos(C/2),sin(C/2)=cos((A+B)/2)の置き換えができる。
サインの和積と置き換えから、sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)=2cos(C/2)cos((A-B)/2)
サインの加法と置き換えから、sin2(C/2)=2sin(C/2)cos(C/2)=2cos((A+B)/2)cos(C/2)
左辺＝2cos(C/2)(cos((A-B)/2)+cos((A+B)/2))=...(展開整理)...=2cosC/2・2cosA/2cosB/2=右辺
（例）「ｘが０と2πの間のとき、の解」は？
和積の公式「sin(P)ーsin(Q)=2cos sin」を使って、サインの差を積に直そう。
和がPで差Qとなる２数は和差算から、大＝(P+Q)/2, 小＝(P-Q)/2と出せるね。
和が9/2xで、差が1/2xの２数は大＝5/2xと小＝2x。
xが0と2πの間だからp=5/2xは０と5πの間。cosp=0よりp=1/2π(1,3,5,7,9)で、
x=2/5・p=1/5π(1,3,5,7,9)=1/5π, 3/5π, π, 7/5π, 9/5π
xが0と2πの間だからq=2xは０と4πの間。sinq=0よりq=π,2π,3πで、x=1/2π(1,2,3)
これより、x=1/2π, 3/2π。
まとめると、
（例）「cos(n+2)θ-2cosθcos(n+1)θ+cosnθ=0の理由とその利用例」は？
・理由
積和の公式「cosAcosB=1/2(cos(A+B)＋cos(A-B))」から、2cos(n+1)θcosθ=cos(n+2)θ+cosnθ。
・利用例
cos(n+2)θ=2cosθ･cos(n+1)θ -cosnθを使って、最後にcosθ=cとおき、cの多項式にしてみよう。
n=-1：cos θ=2cosθ･cos0 -cos(-θ)=2c-c=c
n=0：cos2θ=2cosθ･cosθ -cos0 =2c2-1
n=1：cos3θ=2cosθ･cos2θ-cosθ =2c(2c2-1)-c=4c3-3c
n=2：cos4θ=2cosθ･cos3θ-cos2θ=2c(4c3-3c)-(2c2-1)=8c4-6c2-2c2+1=8c4--8c2+1
n=3：cos5θ=2cosθ･cos4θ-cos3θ=2c(8c4--8c2+1)-(4c3-3c)=16c5-16c3+2c -(4c3-3c) =16c5-20c3+5c
n=4：cos6θ=2cosθ･cos5θ-cos4θ=2c(16c5-20c3+5c)-(8c4--8c2+1)=32c6-40c4+10c2-(8c4--8c2+1)
=32c6-48c4+18c2-1
..................
こうして、漸化式として使えば、多倍角のコサインはコサインθの多項式になる。
cosmθの最高次数項=2m-1cmで、そのあとの次数は２ずつ小さくなっていくね。
２．倍角と半角の利用
簡単のためにsinAをsAやsと、cosAをcAやｃと,tanAをtAとかくことにします。
＜２倍角＞
加法定理の和の公式で、2a=a+aとして導く。
s2A=s(A+A)=2sc。（これっきり）
c2A=c(A+A)=(c)²-(s)²=2c²-1=1-2s²。(１種の２乗は逆算できる）
t2A=
（例）「s+c=1/√2のときのc2Aの値」は？
辺々２乗して、1+2sc=1/2。2sc=1/2-1=-1/2=s2A。
(c2A)²=1-(s2A)²=1-(-1/2)²=3/4。c2A=+-√3/2
（例）「aがπ/2とπの間（cosaが負、sinaが正)でsina=3/5のときの、sin2a,co2s」は？
cosa=-4/5となるので、sin2a=2sinacosa=-12/25, cos2a=1-2･(3/5)2=7/25=2(-4/5)2-1
（例）「tanθ/2=t(t≠±1)として、sinθ、cosθ、tanθをｔの式で表す」と？
θ/2=aとかくと、sinθ=sin(2a)=2sina・cosa=2t・cos2a=2t・1/(1+t2)=
cosθ=cos(2a)=2cos2a-1=2・1/(1+t2)-1=(2-(1+t2))/(1+t2)=
tanθ=sinθ/cosθ=
＜半角＞
s2(A/2)=(1−c)/2
c2(A/2)=(1+c)/2
t2(A/2)=(1-c)/(1+c)
（理由）a=２A、A=a/2で倍角cos公式を言い換えただけ。
（用途）サインコサインの2次式を1次式にしたいとき、微分・積分のときに役立つね。
（例）Aが鋭角でcosA=1/2のとき、cos2Aと、cos(A/2)の値は？
cos2A=2cos²A-1=2･(1/2)²-1=-1/2。
cos²(A/2)=(1+cosA)/2=(1+1/2)/2=3/4。cos(A/2)>0から、cos(A/2)=1/2√3。
（例）cos15°=x, sin15°=y の値は？
から、ｙ＝1/4x。
これから、ｘ²＝。
15°は鋭角だから、x=>0、y=。
（例）「aがπ/2とπの間（cosaが負、sinaが正)でsina=3/5のときの、sin(a/2),cos(a/2)」は？
cosa=-4/5となるので、sin2(a/2)=(1-cosa)/2=9/10 sin(a/2) = 3√10/10
cos2(a/2)=(1+cosa)/2=1/10 cos(a/2)=√10/10
３．多倍角の公式
＜３倍角＞
sin,cosをs,cと、sinA=s, cosA=cと略す。係数の符号が反転している。
s(3A)=。
c(3A)=。
（理由）加法定理、2倍角公式などを使う。
s(3A)=s(2A+A)=
c(3A)=c(2A+A)=
（例）「aがπ/2とπの間（cosaが負、sinaが正)でsina=3/5のときの、sin(3a),cos(3a)」は？
cosa=-4/5となるので、sin(3a)=-4sin3a+3sina=-4・27/125+ 3・3/5=-108/125+225/125=117/125
cos(3a)=4cos3a-3cosa=4・(-64/125)- 3・(-4/5)=-256/125+300/125=44/125
（例）cos54°の値は？
p=54とすると5p=270で、270 -2p＝3pから、「cos(270 - 2p)=-sin(2p)=cos3p」がなりたつ。
cos54°=c, sin54°＝sとおくと、c,sともに正。-sin(2p)=-2sc。cos3p＝4c³ー3cだから、
-2sc=4c³-3cの両辺を,cが正だからcで割り、c2=1-s2で、-2s-4(1-s²)+3=0。4s²-2s-1=0。
s=、c=
（例）cos36°の値は？
p=36とすると、5p=180。180- 2p＝3p。sin3p=sin(180-2p)=sin2p。
cos36°=c, sin36°＝sとおくと、c,sともに正。sin(2p)=2sc。sin3p＝-4s³+3sだから、
2sc=-4s³+3sの両辺を,sが正だからsで割り、s2=1-c2で、2c+4(1-c²)-3=0。4c²-2c-1=0。
c=、ｓ=
ちなみに、36+54=90だから、cos36°=sin54°
＜４倍角＞
c(4A)=
s(4A)=
（理由）
c(4A)=c(2A+2A)=2c(2A)²-1=2(2c²-1)²-1=8c⁴-8c²+1
s(4A)=c(2A+2A)=2s(2A)c(2A)=2･2sc･(1-2s²)=4sc-8s³c
＜５倍角＞
c(5A)=
s(5A)=
（理由）
c(3A+2A)=c3Ac2A-s3As2A=
=
=
=
s(3A+2A)=s3Ac2A+c3As2A=
=