Google Classroom
GeoGebraGeoGebraKlasse

At bestemme tangenthældningen

Forfatter
Per Fack

Opgave 1: Hvordan bestemmes hældningen af tangenten præcist?

Flyt på skyderen (figur 1), og vurder hvilken hældning tangenten i punktet P har. Spørgsmål 1.1: Er det let at vurdere den præcise tangenthældning? Svar: Nej, det er ikke let at se den præcise placering af tangenten.

Figur 1

Opgave 2: At bestemme hældningen af en linje

Vi tilføjer et hjælpepunkt Q på grafen for f. Se figur 2. Dette er trick nummer 1. Vi tegner en linje gennem P og Q. Denne linje kaldes en sekant, fordi den skærer grafen i to punkter. Spørgsmål 2.1: Hvordan kan man ved hjælp af punkterne P og Q beregne hældningen af sekanten?

Figur 2

Tip: Brug formel til at finde en lineær funktions hældningskoefficient ud fra to punkter. Aflæs koordinaterne på figur 2, og udregn hældningen. Passer det med den angivne hældning? Flyt punktet Q lidt. Spørgsmål 2.2: Passer din metode til beregning af hældningen stadig? Aflæs de nye koordinater og beregn hældning. Passer det stadig?

Opgave 3: At tilnærme tangenten med sekanten

Forsæt med at bruge figur 2. Flyt punktet Q hen i nærheden af P. Dette er trick nummer 2. Prøv at flytte Q lidt frem og tilbage omkring P. Spørgsmål 3.1: Hvad sker der med sekanten (grøn) i forhold til tangenten (rød)? Hvordan ligger de to linjer i forhold til hinanden? Se på sekanthældningen når du flytter Q tæt omkring P. Spørgsmål 3.2: Hvad er et godt bud på hældningen af tangenten? Det er stadig ikke præcist, men hvis Q ligger meget tæt på P, så er sekanthældningen også meget tæt på tangenthældningen.

Opgave 4: At opstille en generel formel for sekanthældningen

Se på figur 3. Denne opgave svarer til gennemgangen side 16 i hæftet. Opgave 4.1: Diskutér betydningen af koordinaterne for punkterne P og Q. Et punkt er angivet med en x-koordinat og en y-koordinat. Punkt P har x-koordinat . Da punkt P ligger på grafen for , kan y-koordinaten beregnes ved at indsætte x-koordinaten i regneforskriften for . Det skriver man således: . Tilsvarende for punkt Q, som er flyttet stykket til venstre. Derfor er x-koordinaten større end P's x-koordinat. Det vil sige, at x-koordinaten er , og y-koordinaten er . Opgave 4.2: Opstil formel for hældning af sekanten ved hjælp af disse generelle koordinater. Indsæt ovenstående i formlen fra opgave 2. Opgave 4.3: Udregn ved hjælp af regneforskriften for funktionen . Opgave 4.4: Udregn ved hjælp af regneforskriften for funktionen . Husk: Kvadratsætningerne . Se hæftet Tal og Ligninger. Det vil sige, at . Opgave 4.5: Indsæt i formlen fra opgave 4.2 og reducér.

Figur 3