At bestemme tangenthældningen
Opgave 1: Hvordan bestemmes hældningen af tangenten præcist?
Flyt på skyderen (figur 1), og vurder hvilken hældning tangenten i punktet P har.
Spørgsmål 1.1: Er det let at vurdere den præcise tangenthældning?
Svar: Nej, det er ikke let at se den præcise placering af tangenten.
Figur 1
Opgave 2: At bestemme hældningen af en linje
Vi tilføjer et hjælpepunkt Q på grafen for f. Se figur 2. Dette er trick nummer 1.
Vi tegner en linje gennem P og Q. Denne linje kaldes en sekant, fordi den skærer grafen i to punkter.
Spørgsmål 2.1: Hvordan kan man ved hjælp af punkterne P og Q beregne hældningen af sekanten?
Figur 2
Tip:
Brug formel til at finde en lineær funktions hældningskoefficient ud fra to punkter.
Aflæs koordinaterne på figur 2, og udregn hældningen. Passer det med den angivne hældning?
Flyt punktet Q lidt.
Spørgsmål 2.2: Passer din metode til beregning af hældningen stadig?
Aflæs de nye koordinater og beregn hældning. Passer det stadig?
Opgave 3: At tilnærme tangenten med sekanten
Forsæt med at bruge figur 2.
Flyt punktet Q hen i nærheden af P. Dette er trick nummer 2.
Prøv at flytte Q lidt frem og tilbage omkring P.
Spørgsmål 3.1: Hvad sker der med sekanten (grøn) i forhold til tangenten (rød)?
Hvordan ligger de to linjer i forhold til hinanden?
Se på sekanthældningen når du flytter Q tæt omkring P.
Spørgsmål 3.2: Hvad er et godt bud på hældningen af tangenten?
Det er stadig ikke præcist, men hvis Q ligger meget tæt på P,
så er sekanthældningen også meget tæt på tangenthældningen.
Opgave 4: At opstille en generel formel for sekanthældningen
Se på figur 3. Denne opgave svarer til gennemgangen side 16 i hæftet.
Opgave 4.1: Diskutér betydningen af koordinaterne for punkterne P og Q.
Et punkt er angivet med en x-koordinat og en y-koordinat.
Punkt P har x-koordinat . Da punkt P ligger på grafen for , kan y-koordinaten
beregnes ved at indsætte x-koordinaten i regneforskriften for .
Det skriver man således: .
Tilsvarende for punkt Q, som er flyttet stykket til venstre.
Derfor er x-koordinaten større end P's x-koordinat.
Det vil sige, at x-koordinaten er , og y-koordinaten er .
Opgave 4.2: Opstil formel for hældning af sekanten ved hjælp af disse generelle koordinater.
Indsæt ovenstående i formlen fra opgave 2.
Opgave 4.3: Udregn ved hjælp af regneforskriften for funktionen .
Opgave 4.4: Udregn ved hjælp af regneforskriften for funktionen .
Husk: Kvadratsætningerne . Se hæftet Tal og Ligninger.
Det vil sige, at .
Opgave 4.5: Indsæt i formlen fra opgave 4.2 og reducér.