Splines als Funktionen
Berechnung von kubischen Splines
Unter kubischen Splines versteht man stückweise definierte Polynomfunktionen 3. Grades, die folgenden Bedingungen genügen.
- an den Stützstellen xi stimmen die Funktionswerte überein,
- an den Stützstellen xi stimmen die Werte der 1. Ableitungen überein,
- an den Stützstellen xi stimmen die Werte der 2. Ableitungen überein,
- am Anfang und am Ende des Intervalls sind die die Werte der 2. Ableitungen gleich null.
Aufgabe
Gegeben sind die Punkte A(1, 1), B(3, 3), C(5, 2) und D(7, 3).
Berechne drei kubische Splines duch A, B, C und D, die die beschriebenen Bedingungen erfüllen.
| Funktionswerte | 1. Ableitungen | 2. Ableitungen | |
| s1(x1) = y1 | | s1''(x1) = 0 | |
| s1(x2) = y2 | s1'(x2) = s2'(x2) | s1''(x2) = s2''(x2) | |
| s2(x2) = y2 | s2'(x3) = s3'(x3) | s2''(x3) = s3''(x3) | |
| s2(x3) = y3 | | s3''(x4) = 0 | |
| s3(x3) = y3 | | | |
| s3(x4) = y4 | | | |
Die in GeoGebra verwendeten Splines unterschieden sich ein wenig von den nach dem obigen Verfahren berechneten Kurven.
Hinweis: Der Befehl
Spline[{A,B,C,D},3,abs(x)+0*y] erzeugt die Spline-Kurve, die der Berechnung nach obigen Schema entspricht.Splines können nicht immer durch stückweise definierte Funktionen angegebene werden, wie das nächste Beispiel zeigt.
Dazu verwendet GeoGebra einen anderen Algorithmus.
Aufgabe
Verändere die Positionen der Punkte A, B, C und D.