Strecken und Verschieben von Parabeln
1. Kapitel: Lernziele
Wasserfontäne
Die folgende Parabel zeigt den Verlauf eines Wasserstrahls, welcher aus einem Gartenschlauch austritt. Um den Wasserstrahl mit Hilfe der Parabel darstellen zu können, werden wir im ersten Kapitel die Streckung und Verschiebung von Parabeln wiederholen und vertiefen.
Eure Lernziele für dieses Kapitel werden sein: Die Streckung und Verschiebung aus der Normalparabel für verschiedene Paramter abzuleiten. Anschließend werdet ihr mit Hilfe von Geogebra eine passende Parabel für die Wasserfontäne finden und verschiedene Aufgaben dazu lösen. Nutze in diesem Kapitel das dazugehörige Arbeitsblatt, um die Aufgaben zu lösen.
Einstiegsaufgabe: Fallschirmspringen
1. Die angezeigte Funktion wurde durch das Gerät aufgezeichnet. Fülle hierzu die Tabelle aus:
Du kannst das obige GeoGebra-Applet zur Hilfe nehmen. Bewege hierbei den Punkt A und lies gleichzeitig die dazugehörigen x- und y-Werte in der Wertetabelle ab.
2. Wie hängen Zeit und Höhenmeter zusammen? Stelle einen Funktionsterm auf.
3. Nach wie vielen Sekunden kommt der Fallschirmspringer am Boden an, wenn er in einer Höhe von 3000m abspringt?
Zeit in sek.
0 1 2 3 4 5 6
abnehmende Höhenmeter
Infotext: Einführung quadratischer Funktionen
1. Aufgabe
Arbeitsanweisung: Untersuche das Schaubild von für x, 1. Verändere mit dem Schieberegler den Wert von und beobachte, wie sich das Schaubild ausgehend von der Normalparabel für folgende Werte verändert: . Fülle die auf dem Arbeitsblatt angegebene Wertetabelle aus. Übertrage die zugehörige Skizze der Funktionen auf dein Arbeitsblatt.
2. Welche Bedeutung hat der Parameter für den Verlauf des Funktionsgraphen von g(x)=?
Analysiere, wie sich das Schaubild zu g(x) ausgehend von der Normalparabel verändert. Fülle folgende Lücken aus und leite eine Regel ab!
Lückentext:
Das Schaubild der quadratischen Funktion entsteht aus der Normalparabel durch
(1)................................................. des Graphen in (2)....................- Richtung um (3)................... Einheiten.
Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten (4) (.................../....................).
Regel:
Das Schaubild der Funktion g(x) = entsteht aus der Normalparabel für
1. : durch
2. durchx -3 -2 -1 0
1 2 3 Das Schaubild entsteht aus
der Normalparabel durch... Der Scheitelpunkt
liegt im Punkt... -
2. Aufgabe
Arbeitsanweisung: Untersuche nun das Schaubild der Funktion h(x) = (x − d)2 , mit d . 1. Verändere mit dem Schieberegler den Wert von d und beobachte, wie sich das Schaubild ausgehend von der Normalparabel für folgende Werte verändert: d = 2; d = 1; d = -1; d = -2.
Fülle die auf dem Arbeitsblatt angegebene Wertetabelle aus. Übertrage die zugehörige Skizze der Funktionen auf dein Arbeitsblatt. Hilfestellung: Du kannst die angezeigte Wertetabelle auf dem GeoGebra-Applet zur Hilfe nehmen.1.
2. Welche Bedeutung hat der Parameter d für den Verlauf des Funktionsgraphen?
Analysiere, wie sich das Schaubild ausgehend von der Normalparabel f(x) = verändert. Fülle dazu folgende Lücken aus und vervollständige die Regel.
Lückentext:
Wird das x von durch (x-d) ersetzt ( ), so (1)....................................... sich der Graph in (2)...........................-Richtung um (3).................... Einheiten.
Aus dieser Schreibweise kann der Scheitelpunkt direkt abgelesen werden. Die Koordinaten des Scheitelpunktes sind (4) (......../........)
Regel:
Das Schaubild der Funktion entsteht aus der Normalparabel für
1. d< 0: durch
2. d> 0: durch x -3 -2 -1 0 1 2 3 Das Schaubild entsteht aus
der Normalparabel durch... Der Scheitelpunkt
liegt im Punkt...
Aufgabe 3
Arbeitsanweisung:
Verschiebe nun das Schaubild zu mit , indem du die Werte von d und mit Hilfe der Schieberegler veränderst.
Bearbeite folgende Aufgaben auf dem Arbeitsblatt:
1. Analysiere, wie die angegebenen Funktionen aus der Normalparabel entstehen. Bestimme anschließend den Scheitelpunkt.
2. Wie lässt sich der Scheitelpunkt aus dem Funktionsterm bestimmen?
Überpüfe deine Antworten mit dem Geogebra-Applet, indem du die Schieberegler anpasst. Anschließend kannst du dir die Lösungen anzeigen lassen.
3. Gebe zu den angegebenen Scheitelpunkte die Funktionsterme an.
1. S (3/1)
2. S (0/3)
3. S ( -2/2)
4. S (-1/4)
Aufgabe 4
Arbeitsanweisung: Untersuche nun das Schaubild der Funktion , mit . 1. Verändere mit dem Schieberegler den Wert von a und beobachte, wie sich das Schaubild ausgehend von der Normalparabel für folgende Werte verändert: a = 5; a = 0,5; d = -0,1; d = -2. Fülle die auf dem Arbeitsblatt angegebene Wertetabelle aus. Übertrage die zugehörige Skizze der Funktionen auf dein Arbeitsblatt. Hilfestellung: Beobachte, wie sich die Funktionswerte des Punktes A für unterschiedliche a verändern. Bewege dazu den Punkt A auf der Parabel entlang!
1.
2. Welche Bedeutung hat der Parameter a für den Verlauf des Funktionsgraphen ?
Analysiere, wie sich das Schaubild ausgehend von der Normalparabel f(x) = verändert. Fülle dazu folgende Lücken aus und vervollständige die Regel.
Lückentext:
Der ............................der quadratischen Funktion wird Streckfaktor genannt. Die Koordinaten des Scheitelpunktes bleiben .................................
Regel:
Der Faktor a der Funktion l(x) bewirkt für verschiedene a folgendes:
1. a > 0:
2. a < 0:
3. a< -1 oder a > 1:
4. -1 < a < 1:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 Das Schaubild entsteht
aus der Normalparabel
durch... Der Scheitelpunkt
liegt im Punkt... und
die Parabel ist geöffnet
nach...
Zusatzaufgaben- weitere Übungsaufgaben zu Kapitel 1
Lernerfolgskontrolle: Einstiegsaufgabe Wasserfontäne
1. Finde eine passende Parabel zur Wasserfontäne
Nutze die Schieberegler, um eine passende Funktion für die Wasserfontäne zu finden. Wie lautet die passende Funktionsvorschrift für die Wasserfontäne?
2. Beantworte folgende Fragen zum Funktionsterm der Wasserfontäne
Ende Kapitel 1: Zusatzaufgabe
Wie würde die Funktionsgleichung für die Wasserfontäne lauten, wenn der Ursprung des Koordinatensystems in dem höchsten Punkt des Wasserstrahls liegt? Überlege dir, inwieweit die Parabel verschoben werden muss. Gib die Funktionsgleichung und den Scheitelpunkt an.