５。複素数と高次方程式
１.整式と高次方程式
＜割り算の商と余り＞
「剰余の定理」整式P(x)を一次式(x−a)で割った余りはP(a)。
（理由）一次式(x-a)で割った商がQ(x)、
余りがrとするとP(x)=(x-a)Q(x)+rとおける。P(a)=rとなる。
x=aは、割る一次式の値＝０するから、p(a)で余りを求めることができた。
（拡張版）整式P(x)を一次式(ax+b)で割った余りはP(-b/a)。
（理由）x=-b/aは、一次式(ax+b)の部分を０にするから、P(-b/a)が余りに等しい。
「因数の定理」整式P(x)が因数(x-a)を持つならP(a)=0。
（理由）剰余＝０になれば、わる式が因数になるから。
（例）「整式P(x)を(x-1)で割った余りが3で、(x+1)で割った余りが1となるとき、
整式P(x)を(x-1)(x+1)で割った余り」は？
P(1)=3,P(-1)=1だから、P(x)=ax+bとおくと、a+b=3,-a+b=1 から、b=2,a=1となる。余りは、x−２。
（例）「整式P(x)をx2+2x+3で割るとx+4余り、x2+2で割ると-1余る、最小次数の整式P(x)」は？
P(x)を4次式(x2+2x+3)(x2+2)で割った余りt(x)は3次以下。
P(x)を割った余りはt(x)を割った余りだから、t(x)=(x2+2)(px+q)-1=(x2+2x+3)(ax+b)+x+4
これから、(p,q,2p,2q-1)=(a,2a+b,3a+2b+1, 3b+4)係数比較から、p=a=1,b=-1, q=1。
最小次数のP(x)=t(x)=px3+qx2+2px+2q-1=x3+x2+2x+1。
（例）「3次以上の整式P(x)=xn-1を(x-1)3で割った余り」は？
変数変換しても余りが出せる。x-1=tとおくとP(t)=(t+1)n-1を２次式t3で割った余りは、
tの２次以下の部分でnC2t2+nC1tだね。
この余りの式をxの式にもどそう。nC2(x-1)2+n(x-1)=nC2x2+(n-nP2)x-n+nC2。
＜高次方程式の解法＞
因数分解を使って次元を下げる。
定数項の約数（÷最高次の係数の約数）を、
因数定理を使うことで、因数を見つける。
２乗、３乗を置き換えることで、次元を下げた式として扱う。
定数項の√などにも着目する。
解と係数の関係の利用。
（例）x³＋８＝０を解く。
x3+23=(x+2)(x2-2x+22)＝０からx＝−２。
さらに、ｘ2-2x+4=0から、ｘ＝
（例）P(x)=ｘ³＋x²-14x+６=０を解く。
P(2)=8+4-28+6<0 だめ。P(3)=27+9-42+6=0
筆算で(1 1 -14 6) ÷(1 -3)=(1 4 -2)
P(x)=(x-3)(x2+4x-2)=0 x=3,
（例）t=x2とすると、x4-x2-12=0からt2-t-12=(t＋3)(t-4)=0。
ｘ2=4,-3。ｘ＝
（例）t=x2とすると、x4+x2+25=0から、
t2+t+25=(t+5)2-9t＝(x²+5)²-(3x)²=(x²＋3x+5)(x²-3x+5)=0。
（複合任意）
＜N乗根と複素平面＞
複素数を極形式ｚ＝a+bi=ｒ(cosθ+sinθ i)とかくと,zは複素平面乗の点に対応する。
ｚn=1の解をfとすると、(fk)n=fnk=(fn)k=1だから、fkも解になる。
したがって、解は単位円をｎ等分した複素数ｎ個となる。
２．３次方程式の解法と利用
＜３乗根＞
x³＝１の解は１,ω, ω²。ω²＋ω=-1、ω³＝１のように次元下げができる。
（例）
（例）ｘ²+x+1=0とすると、x＝ω,ω²が解となるので、
ｘ²+x+1=(x-ω)(x-ω2)と分解できる。
x²−xy+y²＝(x+ωｙ)(x+ω²y)、
x²−xy+y²＝(ωx+ω²ｙ)(ω²x+ωy)のように分解できる。
＜解と係数の関係＞
３次方程式ax³+bx²+cx+d=0の３解α、β、γについて、次の関係がある。
a(x-α)(x-β)(x-γ)を展開して、ax³+bx²+cx+d=0と同次の係数を比べると、
（例）３次の係数が１，２次の係数が−６，
１つの解が2+iとなる係数が実数の３次方程式は？
共役複素数2+i,2-iの和が4, 積が5から、ｘ²-4x+5を因数にもつ３次式になる。
のこりの解αに対して、3解の和＝α+4=-(-6)=6となるから、α＝2。
１次の係数はα(２虚数の和）＋２虚数の積＝2･4+5=13 ,
定数項は-3解の積＝-10。
（例）対称式は基本対称式で表せる。
「実数x,y,zでx+y+z=0, x3+y3+z3=3,x5+y5+z5=15のとき、a=x2+y2+z2の値」は？
xy+yz+zx=b, xyz=cとおこう。
(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)だから、0=a+2b。
x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy+yz+zx)だから、3-3c=0。c=1
x5+y5+z5=(x3+y3+z3)(x2+y2+z2)-{x3(y2+z2)+y3(x2+z2)+z3(x2+y2)}
15=3a-{(xy)2(x+y)+(yz)2(y+z)+(zx)2(z+x)}
=3a+{(xy)2(z)+(yz)2(x)+(zx)2(y)}=3a+xyz(xy+yz+zx)=3a+1b。
a=-2b。b=15-3a。だから、a=-2(15-3a)=-30+6a。a=30/(6-1)=6。
＜３次方程式の解の公式（参考）＞
実数係数の３次方程式 の解の公式作成する。
とを同一視して、
とおくと、より、
この式を解と係数の関係としてみると、
Y,Zは２次方程式の解になる。
この２次方程式の判別式はD=で、
t がY,Zになり、b,cから計算できる。
y,zはこのtの３乗根で計算できる。
一方で１の３乗根を1,ω,ω²とすると、
=
=
Xについて解くと、だ。
（例）「ｘ³＋6ｘー20＝０」なら、Y,Zがｔ²＋20t−８=0の解でD/4=100＋8＝108＞０、
ｔ＝-10＋6√3, -10-6√3
-t=pとして、p³＝（a+b√3)³=10+6√3となる整数はa=b=1となる。
よって、。
=
（別解）因数定理でｘ＝２を探し、(1 0 6 -20)÷(1 -2)=1 2 10 から、
x²＋2x+10=0を解いて、
２つの虚数解x=-1＋√3i ,-1ー√3iも求める。
（例）「x³ー15xー4＝０」なら、 Y,Zがｔ²+４t＋125=0の解でD/4=4ー125＝ー121<０、
ｔ＝-2＋11i, -2ー11i
-t=pとして、p³＝（a+bi)³=2+11iとなる整数はa=2,b=1となる。
よって、。
=
（別解）因数定理でｘ＝4を探し、(1 0 -15 -4)÷(1 -4)=1 4 1 から、x²＋4x+1=0を解いて、
残りの実数解x=-2ー√3, -2＋√3も求める。
（例）「x³ー3x＋2＝０」なら、 Y,Zがｔ²-2t＋1=0の解でD/4=1ー1＝０、ｔ＝1,1（重複解）
よって、。
（別解）因数定理でｘ＝-2を探し、(1 0 -3 2)÷(1 2)=1 -2 1 から、
x²-2x+1=0を解いて、残りの解x=1,1（重複）も求める。
（例）「実係数の３次方程式x3ー2(α+β)x2+(α2+β2+γ2)x-8√3=0の３つの複素数解α,β,γ」は？
実係数だから、α+β+γ=2(α+β)、αβ+(α+β)γ=α2+β2+γ2、αβγ=8√3。
α+β=γ、αβ+γ2=α2+β2+γ2となり、α2+β2＝(α+β)2-2αβ=γ2-2αβ=αβ。だから、γ2=3αβ。
γ3=3αβγ=24√3。γ=2√3=α+β。αβ=8√3/(2√3)=4 αとβはt2-2√3t+4=0の解。
t=√3±√(3-4)=√3±i（αとβ）、γ=2√3。
３．３次方程式の判別式
＜３次方程式の判別式＞
の判別式D=とすると、
重複解なら「＝０」になり、異なる３実数なら「正」になる。
３つの解をα（実数）、β=p+qi、γ=p-qiとするとき、「負」になる。
（確認）
D＝
=＜０となる。
＜判別式を係数で表す＞ の判別式
D==
特にｂが3の倍数で、ｃが２の倍数のときは次のように約すと計算しやすい。
D/(27･4)=
※この値はt²-ct-(b/3)³=0の判別式を４倍して符号を逆転したものになっている。
解と係数の関係から、対称式を利用して判別式を係数で表す。
となる。
まず、ありそうな対称式を３乗まで計算してみる。
すると、
=
=
（例）ｘ³−6ｘ-20=0なら、D/27･4=-((-6/3)³+(-20/2)²)=-108<０から１実数と虚数解。
ｘ³-15ｘ-4=0なら、D/27･4=-((-15/3)³+(-4/2)²)=-(-121)=121>０から3実数解。
ｘ³−3 x+2=0なら、D/27･4=-((-3/3)³+(2/2)²)=-(-1+1)=０から重複解と１実数解。
（例) 「f(x)=ｘ3＋(a-1)ｘ2＋(a-3)ｘ-2a+3=0が重複解をもつときのaの値と重複解」は？
f(1)=1+a-1+a-3-2a+3=0からx=1が解。係数分離で割り算する。 (1,a-1,a-3,-2a+3)÷(1,-1)=(1,a,2a-3)から、g(x)=x2+ax+2a-3=0とx=1の関係を調べる。g(1)=1+a+2a-3=3a-2=0。a=2/3のときは重複解はx=1。
g=0がx=1以外の重複解x=-a/2を持つにはD=a2-4(2a-3)=a2-8a+12=(a-2)(a-6)=0。
a=2なら重複解はx=-1,a=6なら重複解はx=-3。
（例) 「aが１より大のとき、f(x)=ｘ3ー(a+4)ｘ2＋(4a+3)ｘ-3a<0解」は？
f(1)=1-(a+4)+(4a+3)-3a=0 。係数分離で割り算する。 (1,-a-4,4a+3,-3a)÷(1,-1)=(1,-a-3,3a)の
商のg(x)=x2-(a+3)x+3aでg(3)=9-3a-9+3a=0から、g(x)=(x-3)(x-a)。結局、f(x)=(x-1)(x-3)(x-a)。
aと1,3との大小関係でｘ軸に対する位置関係が変わるので、不等式の解も変わるね。
aが１より大だから、解はｘが１未満。また、a≠３ならaと３の間も解。
４．４次以上の方程式の解法
＜４次方程式の単純化＞
・お決まりのx2=tの置き換えなど、共通部分の置き換えを意識しよう。
・因数分解、または因数定理を意識してみよう。
（例）「ｘ4+x2+1=0の解」は？
ｘ2=tとおくと、t2+t+12=(t+1)2-t=(t+1)2-x2=(t+1+x)(t+1-x)=(x2+x+1)(x2-x+1)=0
これで、２つの２次式の積＝０になった。x=(複合任意）
（例）「ｘ4-8x2+4=0の解」は？
ｘ2=tとおくと、t2-8t+22=(t-2)2-4t=(t-2)2-(2x)2=(t-2+2x)(t-2-2x)=(x2+2x-2)(x2-2x-2)=0
これで、２つの２次式の積＝０になった。x=(複合任意）
（例）「(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=3の解」は?
x2+5x=tとおくと、(t+4)(t+6)-3=t2+10t+21=(t+3)(t+7)=(x2+5x+3)(x2+5x+7)=0
これで、２つの２次式の積＝０になった。x=
（例）「2x4-9x3-x2-9x+2=0の解」は？
係数の対称性に目をつけて、x+1/x=tとおくと、x2+1/x2=t2-2
x=0が解でないから、左辺をx2で割ると2(x2+1/x2)-9(x+1/x)-1=2(t2-2)-9t-1=2t2-9t-5=(2t+1)(t-5)=0
(2t+1)(t-5)=(2x+2/x+1)(x+1/x-5)=(2x2+x+2)(x2-5+1)＝0
これで、２つの２次式の積＝０になった。x=
（例）「x4-2x3+3x2-2x+1=0の解ｘ」は？
両辺をx2で割ると、x2-2x+3-2/x+1/x2=0。
係数に対称性があるので、とおこう。 となるから、
P(x)=x2+1/x2 - 2(x+1/x) +3 = y2-2 +(-2y)+3=(y-1)2=0 y=1=x+1/xとなる。x2-x+1=0の解はx=
（例）
「３で割った余りが１の自然数nに対して、P=(x-1)(x3n-1)がQ=(x3-1)(xn-1)で割り切れる」理由は？
P=(x-1)((xn)3-1)=(x-1)(xn-1)(x2n+xn+1)、Q=(x-1)(x2+x+1)(xn-1)だから、
p(x)=x2n+xn+1がq(x)=x2+x+1で割り切れればよい。
q(x)=0の解ω,ω2はr(x)=x3-1=(x-1)(x2+x+1)=0の解でもある。だから、x3=1の次元下げができるね。
x=ω,ω2はn≡1(mod3)ならば、x2n≡x2, xn≡x(mod3)から、p(x)=x2n+xn+1≡x2+x+1(mod3)となる。
p(ω)=0,p(ω2)=0だから、p(x)は(x-ω)と(x-ω2)を因数に持つので、その積q(x)で割り切れる。