Die Exponentialfunktion und ihre Ableitungsfunktion

Durch die Wahl der Basis a kannst du das (rote) Schaubild der Ableitungsfunktion über das (grüne) Schaubild der Exponentialfunktion legen.

Mache dir die folgenden Besonderheiten mit Hilfe der Animation klar:

Die e-Funktion und die natürliche Logarithmusfunktion heben sich gegenseitig auf. (Damit gilt: und bzw. allgemein für positive x: ). Hierdurch können wir jede beliebige positive Basis mit Hilfe der e-Funktion und dem natürlichen Logarithmus darstellen.
Beim Ableiten von Exponentialfunktionen verwenden wir die Darstellung mit der eulerschen Zahl und benutzen hierbei die Kettenregel. Daher kommt der ln als Zahlfaktor nach vorne.
Das Argument des natürlichen Logarithmus heist hier Wachstumsfaktor (=a) und die Zahl ln(a) Wachstumskonstante. Genau dann, wenn die Wachstumskonstante negativ ist, liegt der Wert des Wachstumsfaktors zwischen 0 und 1. Dann handelt es sich bei f um eine exponentielle Abnahme. Das (rote) Schaubild von f' liegt dann überall unterhalb der x-Achse.
Zum Schluss etwas Interessantes für Spezialisten: Für betragsmäßig kleine x ist die (blaue) Tangente an der Stelle x=0 eine gute Näherung für die Exponentialfunktion. (Bei der Funktion ist beispielsweise für die Gerade eine gute Näherung).