Braquistócrona ("tiempo mínimo")
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra El dominio del Tiempo.
Esta animación compara el movimiento de caída de masas por una cicloide, una recta y una circunferencia, en tiempo real, despreciando el rozamiento. La animación no hace uso de fórmulas (ni trigonometría ni ecuaciones ni cálculo diferencial), solo realiza las variaciones necesarias en los vectores que dirigen el movimiento.
Supón que quieres que una bola vaya de un punto elevado H hasta otro a menor altura P (fuera de la vertical de H) en el menor tiempo posible. En principio, tal vez pienses que seguir la línea recta, al ser la trayectoria más corta, será también la más rápida. Es decir, seguir el plano inclinado de H a P (línea naranja). Pues no.
¿Qué curva debe seguir, entonces? Esta curva se llama braquistócrona 
, y tiene una historia muy curiosa. A finales del siglo XVII, el matemático suizo Johann Bernoulli lanza un desafío a los matemáticos más importantes de la época, dando seis meses de plazo para resolver dos complicados problemas. Cumplido el plazo, solo Leibniz había resuelto uno de los dos, y por medios matemáticamente penosos, así que se amplió el plazo otros seis meses.
Casi pasado el año, uno de los problemas seguía sin ser resuelto, y el otro esperaba aún una solución elegante y referida al caso general. Fue entonces cuando Newton fue informado de ambos problemas. Newton tardó una noche en resolver los dos problemas y publicó las soluciones en forma anónima. Al conocerlas Bernoulli, este declaró estar seguro de que las había escrito Newton. Cuando le preguntaron cómo lo sabía, respondió con una locución latina (Tanquam ex ungue leonem) que desde entonces se hecho célebre: Por sus garras se conoce al león. Bernoulli quería decir que solo Newton podría resolver tales problemas con el estilo claro, conciso y brillante característico de este genio.
Pues bien, como ya habrás supuesto, uno de los dos problemas era justamente hallar la curva braquistócrona, la curva de descenso más rápido. Y la solución no es otra, una vez más, que la cicloide invertida. Concretamente, la que tiene al punto más elevado (H) como extremo superior, tal como muestra la construcción.
En la construcción, puedes variar la posición del punto menos elevado (P). La cicloide será siempre la curva de descenso más veloz para ir desde H hasta P. Hemos añadido la circunferencia que pasa por H, S y P, pues Galileo creía que la braquistócrona debería ser esa circunferencia (línea verde), pero se equivocó (aunque no por mucho) como puedes comprobar en la construcción. En realidad, el punto verde realiza un movimiento pendular, como ya hemos visto, cuyo período de oscilación es algo mayor que el de la cicloide. Lo que resulta muy evidente es que la línea recta está muy lejos de ser la mejor opción (aunque mejora cuanto mayor sea su pendiente, es decir, cuanto más próximo se encuentre P de H).
, y tiene una historia muy curiosa. A finales del siglo XVII, el matemático suizo Johann Bernoulli lanza un desafío a los matemáticos más importantes de la época, dando seis meses de plazo para resolver dos complicados problemas. Cumplido el plazo, solo Leibniz había resuelto uno de los dos, y por medios matemáticamente penosos, así que se amplió el plazo otros seis meses.
Casi pasado el año, uno de los problemas seguía sin ser resuelto, y el otro esperaba aún una solución elegante y referida al caso general. Fue entonces cuando Newton fue informado de ambos problemas. Newton tardó una noche en resolver los dos problemas y publicó las soluciones en forma anónima. Al conocerlas Bernoulli, este declaró estar seguro de que las había escrito Newton. Cuando le preguntaron cómo lo sabía, respondió con una locución latina (Tanquam ex ungue leonem) que desde entonces se hecho célebre: Por sus garras se conoce al león. Bernoulli quería decir que solo Newton podría resolver tales problemas con el estilo claro, conciso y brillante característico de este genio.
Pues bien, como ya habrás supuesto, uno de los dos problemas era justamente hallar la curva braquistócrona, la curva de descenso más rápido. Y la solución no es otra, una vez más, que la cicloide invertida. Concretamente, la que tiene al punto más elevado (H) como extremo superior, tal como muestra la construcción.
En la construcción, puedes variar la posición del punto menos elevado (P). La cicloide será siempre la curva de descenso más veloz para ir desde H hasta P. Hemos añadido la circunferencia que pasa por H, S y P, pues Galileo creía que la braquistócrona debería ser esa circunferencia (línea verde), pero se equivocó (aunque no por mucho) como puedes comprobar en la construcción. En realidad, el punto verde realiza un movimiento pendular, como ya hemos visto, cuyo período de oscilación es algo mayor que el de la cicloide. Lo que resulta muy evidente es que la línea recta está muy lejos de ser la mejor opción (aunque mejora cuanto mayor sea su pendiente, es decir, cuanto más próximo se encuentre P de H).GUION DEL DESLIZADOR anima
# Calcula los segundos dt transcurridos; para ello, suma un segundo si t1(1) < tt
Valor(tt, t1(1))
Valor(t1, Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt, (t1(1) < tt) + (t1(1) - tt)/1000)
# Mueve M, A y B
Valor(v, vt + dt gt)
Valor(vA, vtA + dt gtA)
Valor(vB, vtB + dt gtB)
Valor(M, M + dt v)
Valor(A, A + dt vA)
Valor(B, B + dt vB)
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.