Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Satz
Sei f eine stetige Funktion in [a; b] und differenzierbar in ]a; b[.
Dann gibt es mindestens eine Stelle ξ in ]a; b[ mit
oder
Geometrische Interpretation
Es gibt mindestens ein ξ aus ]a; b[ , sodass die Tangente an der Stelle ξ parallel zur Sekante durch die Punkte (a|f(a)) und (b|f(b)) ist.
Die Stelle ξ ist im allgemeinen nicht der Mittelwert von a und b.
Aufgabe
Verändere die Intervallgrenzen a und b so, dass eine zweite Stelle für ξ angezeigt wird.
Beweis
Verschiebe den roten Punkt B so weit wie möglich nach unten.
Für die Funktion gilt: h(a) = f(a) = h(b).
Deshalb kann der Satz von Rolle angewendet werden:
Es gibt ein ξ ∈ ]a; b[ mit h'(ξ) = 0, und daraus folgt die Behauptung .