Homogenes Differentialgleichungssystem

Im Abschnitt zu den gedämpften Schwingungen lag eine Differentialgleichung der Form vor. Das ist eine Gleichung zweiter Ordnung, weil die höchste vorkommende Ableitung die zweite ist. Zudem ist sie linear, bzw. ersten Grades, da die Funktion und deren Ableitungen nur in der ersten Potenz vorkommen. Wir werden in diesem Abschnitt sehen, dass wir solche Gleichungen allgemein in ein System aus Differentialgleichungen erster Ordnung umformen und lösen können. Im Applet können Sie mit den Schiebereglern wieder die Koeffizienten der bestimmenden Matrix und durch Ziehen der Punkte und die Anfangsbedingungen festlegen.

Zunächst werden wir sehen, wie eine Differentialgleichung höherer Ordnung in ein System aus Gleichungen erster Ordnung überführt werden können. Das führen wir am Beispiel aus der Einleitung durch: Die erste Gleichung erhalten wir, indem wir die Funktion mit einführen. Die zweite Gleichung ist unsere Ausgangsgleichung, bei der wir die Ableitungen von durch die Ableitungen von ersetzen. Wir erhalten . Als Gleichungssystem formuliert, sind

.

Ganz allgemein kann man auch

schreiben. Dieses System werden wir nun allgemein lösen. Als Ansatz wählen wir . Damit ist . Das Gleichungssystem wird dadurch zu

.

oder

.

Damit liegt ein Eigenwertproblem vor. Es liefert die Eigenwerte und , die auch komplex sein dürfen. Zwei zugehörige Eigenvektoren und erhalten wir, indem wir für oder eine Zahl wählen und zum Beispiel mit der Gleichung die andere Koordinate berechnen. So hat das System die beiden Lösungen und . Damit sind wir noch nicht fertig, denn wir haben noch nicht beachtet, dass für Anfangsbedingungen und festgelegt sein könnten. Bei Differentialgleichungen, wie sie hier vorliegen, ist auch die Linearkombination aus den beiden Lösungen ebenfalls Lösung des Systems. Die beiden Faktoren und bestimmen wir durch Einsetzen der Anfangswerte in die Linearkombination für und Lösen des sich so ergebenden Gleichungssystems

.

Im Applet lasse ich diese Schritte automatisiert durchlaufen. Variieren Sie die Werte und beobachten Sie die daraus folgenden Änderungen. Im Ausgangszustand habe ich die Werte so eingestellt, dass die Lösung wieder der Verlauf einer gedämpften Schwingung sein könnte. Ein Differentialgleichungssystem für die Schwingung Schließlich wenden wir uns nochmals dem Gleichungssystem zu, das wir aus der Schwingungsgleichung erhalten haben. Die Koeffizientenmatrix ist . Zum Berechnen der Eigenwerte muss sein. Die quadratische Gleichung hat die beiden Lösungen und . Zwei Eigenvektoren erhalten wir mithilfe der Gleichung . Demnach sind und zwei mögliche Eigenvektoren. Das Gleichungssystem zur Bestimmung der Parameter und ist dann

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Das sind, wenn wir unter die Anfangsgeschwindigkeit verstehen, die gleichen Bestimmungsgleichungen wie im vorigen Abschnitt. Wir sehen, dass beide Lösungswege tatsächlich das gleiche Ergebnis liefern.