Es 2.11
Descrizione dei passi della costruzione + dimostrazione
Siano dati un segmento d di lunghezza fissata, un punto 0 e una retta l.
Costruisco la retta f passante per O e perpendicolare alla retta l (possibile grazie a 1.12). Chiamo H il punto di intersezione.
Individuo il punto medio del segmento d (possibile grazie a costruzione 2 del foglio 1) e lo chiamo M.
Individuo il punto E appartenente a l tale che HE = MB (B è uno degli estremi del segmento d) (possibile grazie a 1.2). Individuo il punto E' allo stesso modo ma facendo in modo che si trovi dalla parte opposta di E (nella costruzione ho applicato una rotazione di 180° del punto E con centro in O). In questo modo il segmento E'E sarà congruente al segmento d per costruzione.
Costruisco la circonferenza c avente centro in 0 e raggio 0E'.
Se dimostro che la circonferenza passa anche per il punto E, la circonferenza c è la circonferenza cercata.
Considero i triangoli E'0H e EOH, essi hanno E'H congruente a HE per costruzione, OH in comune e gli angoli in H congruenti perchè entrambi retti. Dunque i due triangoli sono congruenti per 1.4 ed in particolare E'O è congruente a E0. Dal momento che i punti appartenenti alla circonferenza sono tutti e soli i punti caratterizzati dall'avere la distanza da 0 uguale, si è dimostrato che il punto E appartiene alla circonferenza c.