Aronschaltung
- Autor:
- Danny Schreiter
- Thema:
- Komplexe Zahlen
Die Aronschaltung erlaubt es, elektrische Leistungen in einem Drehstrom-Dreileiternetz (ohne Neutralleiter) zu messen und benötigt dafür nur zwei Leistungsmessgeräte. Die Last kann dabei symmetrisch oder unsymmetrisch sein.
![Durch die Wirkleistungsmessgeräte [math]P_{W1}[/math] und [math]P_{W2}[/math] kann die gesamte von den Verbrauchern aufgenommene Wirkleistung ermittelt werden, obwohl der Strom [math]\underline{I}_2[/math] gar nicht gemessen wird. Die Position der Klemmen der Messgeräte im Schaltplan orientiert sich an [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Wirkleistung#Messger%C3%A4te]DIN 43807[/url].](https://beta.geogebra.org/resource/weenpcdx/R3Pl2xcKAIDnClt9/material-weenpcdx.png)
Herleitung
Im folgenden wird von einer Dreieckschaltung der komplexen Verbraucher , und ausgegangen. In einer Sternschaltung ist eine Herleitung auf ähnliche Weise möglich. Die Unterstreichung einer Größe weist darauf hin, dass diese Größe durch eine komplexe Zahl dargestellt wird.
Allgemein lässt sich die gesamte komplexe Scheinleistung durch die einzelne Berechnung der Scheinleistungen der drei Verbraucher und deren anschließende Addition bestimmen:
Der hochgestellte Stern an allen Strömen weist darauf hin, dass hier der konjugiert komplexe Wert einzusetzen ist. Dies ergibt sich aus der allgemeinen Formel für die komplexe Scheinleistung:
Zwischen den drei Verbrauchern muss gemäß Maschensatz gelten . Damit lässt sich in obiger Formel ersetzen:
durch Auflösen der Klammer, Umstellen und erneutes Ausklammern wird daraus
Anhand des Knotensatzes lassen sich in der Schaltung die Zusammenhänge und finden und in der Formel ersetzen:
Anhand dieser Formel wird offensichtlich, dass zur Leistungsmessung zwei Messgeräte genügen, und zwar durch die Messung von mit und die Messung von mit . Sind nur die Wirkleistungen gefragt, genügt es, an den entsprechenden Stellen nur diese Anteile zu ermitteln und anschließend zu addieren.
Eine Besonderheit dabei ist, dass dabei unter bestimmten Umständen an einem der beiden Messgeräte eine negative Wirkleistung angezeigt wird.
Veranschaulichung
Das folgende Applet berechnet die komplexen Scheinleistungen einzeln (linke Seite) und ermittelt zum Vergleich, welche Werte die beiden Wirkleistungsmessgeräte und messen würden. Es wird ersichtlich, dass die Summe der Realteile auf der linken Seite stets genau so groß ist wie die Summe der beiden gemessenen Wirkleistungen – auch wenn eine der beiden negativ sein kann.
Den Spannungen sind folgende Werte zu Grunde gelegt: , und .
Aufgrund der mittlerweile guten Verfügbarkeit elektronischer Leistungsmessgeräte hat die Aronschaltung in der Praxis eine immer geringer werdende Bedeutung. Sie eignet sich jedoch weiterhin gut für Lehrzwecke, da an ihr das Rechnen mit komplexen Zeigerbildern praktiziert werden kann.