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Construções passo a passo de Geometria Olímpica
JUAN LÓPEZ LINARES
Professor Associado II do Departamento de Ciências Básicas da FZEA da Universidade de São Paulo (USP). Ministra as disciplinas de Cálculo II e IV para estudantes de engenharias e os cursos de "Treinamento Olímpico em Matemática para estudantes do Ensino Fundamental e Médio" e "Geometria Olímpica com GeoGebra" para professores e estudantes de alto rendimento.
Graduação e Mestrado em Física na Universidade da Havana, Cuba, em 1994 e 1996, respectivamente. Curso de Diploma da Matéria Condensada no Centro Internacional de Física Teórica Abdus Salam, em Trieste, na Itália em 1997-1998. Estágio no Instituto de Espectroscopia Molecular (CNR), Bolonha, Itália em 1998-1999. Doutor em Física pela Universidade Federal de São Carlos (UFSCar) em 1999-2001. Pós-doutorado de 4 anos (2002-2005) na Universidade Estadual de Campinas (Unicamp). Mestre Profissional em Matemática em Rede Nacional (ProFMat) pela UFSCar em 2019 e Livre Docente na área de Ensino de Matemática Olímpica na FZEA USP em 2022. Professor Associado II desde agosto de 2025.
Quando adolescente participou como estudante de um grupo de treinamento para olimpíadas de Física e Matemática. Essa experiência extracurricular determinou seu futuro profissional e motivou sua linha de trabalho hoje.
- E-books e livros de Geometria Olímpica com GeoGebra: https://www.amazon.com.br/dp/B0DSG5LTXH
- E-books e livros de Cálculo II FZEA USP: https://www.amazon.com.br/dp/B0DSG86PTV
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Table of Contents
Teoremas de Pitágoras e Pappus. Demonstrações e aplicações.
- Volta do Teorema de Pitágoras
- Pitágoras-3-Proof Without Words
- Clássica Teorema de Pitágoras
- Ida Pitágoras Trapézio
- D-3-tp-Semelhança de Triângulos
- Pitágoras-1-Proof Without Words
- Lema para a Demonstração do Perigal do TP
- Demonstração de Perigal do T-de-Pitágoras
- Demonstração de Airy
- Trincas Pitagóricas Primitivas
- Fermat-Trincas-Volta-Pitágoras
- Pitágoras com triângulos equiláteros
- Pitágoras com triângulos semelhantes
- Pitágoras com polígonos regulares
- Pitágoras com polígonos semelhantes
- Bandeirinhas Pitagóricas
- Ogivas e Pitágoras
- Setores circulares e Pitágoras
- Generalização de Pappus
- Pitágoras-2-Proof Without Words
- Pitágoras usando o T de Pappus
- Ida-Pitagoras-Trapezio-f
- d-1-T-Pitagoras-f
- D-3-tp-f
- Lema-Perigal-f
- Perigal-f
- Volta-Pitagoras-f
- Trincas-Pitagoricas-f
- Fermat-Trincas-Volta-Pitagoras-f
- Pitagoras-triangulos-equilateros-f
- Pitagoras-triangulos-semelhantes-f
- Pitagoras-poligonos-regulares-f
- Pitagoras-poligonos-semelhantes-f
- Bandeirinhas-Pitagoricas-f
- Generalizacao-Pappus-f
- Pitagoras-Pappus-f
- Demonstracao-Airy-f
- Setores-circulares-Pitagoras-f
- Ogivas-Pitagoras-f
- Pitágoras com circunferências
- P9 SL IMO 1982
Construções geométricas básicas e conceitos iniciais
- Soma de ângulos internos de um triângulo
- Soma dos ângulos internos de um polígono
- Ângulo externo num triângulo
- GP-Triângulo Retângulo
- Mediana TR
- GP-Triângulo Isósceles
- Triângulos Escalenos
- GP-Base Média
- Base Média de um Trapézio
- Estrela de 5 pontas
- Pentágono regular
- Incentro e Circuncentro
- P1-E- IGO 2019
- GP-P4-A1
- GP-P5-A1
- GP-P7-A1
- GP-P9-A1
- Aula-1-Problema-12
- Problema 36-Aula-1
- Problema-43-Aula-1
- P17-Aula-1
- Problema-35-Aula-1
- Triângulos Isósceles-OBMEP-2019-Questão-11
- Teorema-1-Aula-1
- Pentágono regular-f
- Triângulo Retângulo-f
- Triangulo Isosceles-f
- Triangulos Escalenos-f
- Base Media-f
- Mediana TR-f
- angulos internos-f
- angulo externo-f
- angulos poligono-f
- Base-Media-Trapezio-f
Congruência de triângulos
- Definição de Congruência
- CGP-Arco Capaz
- Arco Capaz
- GP-Congruência LAAo
- Congruencia LLL
- GP-Congruência ALA
- GP-Congruência LAL
- GP-Congruência CH
- GP-AA não é caso de congruência
- GP-LLAo não é caso de congruência
- Retas tangentes a uma circunferência partindo de um ponto
- GP-A2-P1
- P1 NA IGO 2017
- Desafio-03
- GP-A2-P2
- GP-A2-P5
- GP-A2-P6
- Problema-9-Aula-2
- Problema-16-Aula-2
- Aula 2 - Problema 7
- Problema-14-Aula-2
- Problema-15-Aula-2
- PP2-Aula-9
- Problema-8-Aula-2
- Desafio-03-f
- Segunda construção de 5 circunferências
- Cinco circunferências tangentes e uma linha
- Problema-21-Aula-2
- Arco-Capaz-f
- Definicao-Congruencia-f
- Congruencia-LAAo-f
- Congruencia-ALA-f
- Congruencia-LAL-f
- Congruencia-CH-f
- AA-nao-caso-congruencia-f
- LLAo-nao-caso-congruencia-f
- Retas-tangentes-ponto-f
- GP-A2-P1-f
- Congruencia-LLL-f
- P1-NA-IGO-2017-f
Teoremas de Tales e da Bissetriz. Divisão Harmônica. Razão Áurea. Circunferência de Apolônio.
- GP-Teorema de Tales
- Teorema de Thales
- Dividir um segmento em partes iguais
- GP-Teorema da Bissetriz Interna
- GP-Teorema da Bissetriz Externa
- Circunferência Inscrita e Ex-inscrita
- GP-Divisão Harmônica de um segmento-1
- GP-Divisão Harmônica de um segmento-2
- Razão Áurea-4
- Razão Áurea
- Construção da razão áurea
- Construção II de Razão Áurea
- Razão áurea no pentágono regular
- Circunferências tangentes e razão áurea
- Circunferência de Apolônio
- Circunferência de Apolônio-volta
- Construção da circunferência de Apolônio dado BC e k
- Resumão Teorema da Bissetriz e Apolônio
- Apolônio e circuncírculo
- Existência dos pontos isodinâmicos
- Propriedade dos pontos isodinâmicos
- Isodinâmicos-pares de inversão relativos ao circuncírculo
- Triângulo equilátero inscrito de menor área
- Círculos ortogonais e Apolônio
- Apolonio e homotetia
- GP-A3-P6
- GP-A3-P7
- Problema-13-Aula-3
- Problema-15-T3
- Problema-8-Aula-3
- P3-NE-IGO-2017
- Apolonio-isodinamicos-f
- Circunferencia-Apolonio-f
- Circunferencia-Apolonio-volta-f
- Construcao-circunferencia-Apolonio-dado-BC-e-k-f
- Apolonio-circuncirculo-f
- Existencia-isodinamicos-f
- Propriedade-isodinamicos-f
- Equilatero-inscrito-menor-area-f
- T-Tales-f
- Divisao-Harmonica-1-f
- Divisao-Harmonica-2-f
- Razao-aurea-f-2
- Razao-aurea-p-f
- Construcao-razao-aurea-f
- Razao-aurea-f-3
- Construcao-II-Razao-aurea-f
- Segmento-partes-iguais-f
- Resume-t-Bissetriz-f
- P3-NE-IGO-2017-f
- P1 IMO 1991
- P4 IMO 2009
- Reta polar partindo de quadrilátero inscritível
- P5 IMO 1965
- Divisão harmônica de ponto sobre polar
- P19 SL IMO 2005
- P50 LL IMO 1969
- P1 SL IMO 1976
- P5 IMO 1959
- P5 IMO 1981
Semelhança de triângulos e homotetia
- Quadrado sumido-Semelhança e colinearidade
- Quadrados inscritos girantes
- Ida do Teorema de Pitágoras
- Quadrados semelhantes em sequência
- GP-Incomensurabilidades do lado e a diagonal do quadrado
- Semelhança Espiral
- GP-Homotetia-3
- GP-Semelhança e Homotetia
- GP-Homotetia-2
- Sequência de triângulos semelhantes
- Homotetia
- Encontrar centros de homotetia para duas circunferências
- Homotetia de circunferências tangentes internamente
- Incírculo e Ex-incírculo
- Feixe com duas circunferências tangentes
- Inversamente semelhantes
- Homotetia e baricentro
- GP-A4-P4
- P2 E IGO 2019
- GP-Semelhança e Congruência
- GP-A4-P1
- GP-A4-P2
- GP-A4-P3
- GP-A4-P5
- GP-A4-P5-2
- Problema-10-Aula-4
- Problema-6-Aula-4-Construção
- Problema-11-Aula-4
- Problema-5-Aula-4
- Triângulo medial
- P2 NI IGO 2018
- Função afim com botões
- Pitagoras-f
- Quadrados semelhantes-f
- Quadrados inscritos girantes-f
- Incomensurabilidade-f
- Semelhança Espiral-f
- Homotetia-f
- Homotetia de circunferencia-f
- centros de homotetia-f
- Homotetia-tangentes-internamente-f
- Inversamente semelhantes-f
- Homotetia e baricentro-f
- circunferencias tangentes externamente-f
- Quadrado-sumido-f
- GP-A4-P4-f
- OMDF-P-3-N-2-2023
- P12-Semelhanças
Alguns problemas de Olimpíadas
- Círculos Gêmeos de Arquimedes-Desafio
- Círculos Gêmeos de Arquimedes
- Problema-4-Aula-5
- Mediana no triângulo retângulo
- P1 NA IGO 2018
- GP-A5-P1
- GP-A5-P2
- GP-A5-P3
- GP-A5-P5
- GP-A5-P6
- GP-A5-P7
- Problema-8-Aula-5
- Problema-20-Aula-5
- Problema-11-Aula-5
- Problema-18-Aula-5-b
- Problema-9-Aula-5
- P1 NA IGO 2018-Construção Inicial
- Mediana em um triângulo retângulo
- Prob-13-Aula-5
- Mediana relativa à hipotenusa mede metade da mesma
- GP-Base Média-Demonstração
- Base Média no Trapézio
- GP-A5-P1-f
- GP-A5-P2-f
- GP-A5-P3-f
- GP-A5-P5-f
- GP-A5-P6-f
- GP-A5-P7-f
Quadriláteros Notáveis
- Portão
- Soma das diagonais em quadrilátero convexo
- Diagonais perpendiculares em um quadrilátero
- GP-Trapézio
- GP-Trapézio Isósceles
- Trapézio Isósceles numa circunferência
- GP-Paralelogramo
- Propriedades do Paralelogramo
- Deltoide ou Pipa
- GP-Losango
- GP-Retângulo
- Quadrado
- GP-A6-P2
- GP-A6-P3
- GP-A6-P4
- GP-A6-P5
- GP-A6-P6
- GP-A6-PP1
- GP-A6-PP2
- GP-A6-PP4
- Problema-13-Aula-6
- Problema-13-Aula-6-S
- Problema-9-Aula-6
- Problema-5-Aula-6
- Problema-11-Aula-6
- Problema-3-Aula-6
- Problema-5-Aula-6-Construção
- Problema-7-aula-6
- Problema-8-Aula-6
- Critério para paralelogramo
- Polígonos convexos e cruzados
- Soma-diagonais-f
- Trapezio-f
- Trapezio-Isosceles-f
- Duas-cordas-Trapezio-Isosceles-f
- Paralelogramo-f
- Propriedades-Paralelogramo-f
- Definição de Reta de Newton
- Teorema de Anne
- Teorema de Newton em quadrilátero circunscritível
- Quadrilátero Ex-tangencial
- P4 LL IMO 1967
- P1 IMO 1967
- P8 SL IMO 1968
- P2 SL IMO 1973
- P20 SL IMO 1982
- P4 SL IMO 1983
Ângulos e áreas na circunferência
- IMO-Congruência de Triângulos
- Polígonos regulares inscritos e circunscritos ao vivo
- Cálculo de Pi
- Áreas e comprimentos numa circunferência
- Pentágono Inscrito e Circunscrito a um Círculo
- Explicação do Cálculo de Pi
- Pi usando Maclaurin da arco-tangente
- Ângulo Central e Inscrito
- GP-Angulo Central e Inscrito-Caso III
- GP-Mesmo arco mesmo ângulo
- GP-Ângulo de Segmento
- GP-Excêntrico Interior
- GP-Excêntrico Exterior
- P1-NE-IGO-2014-5
- GP-Centro de uma circunferência
- GP-Circunferência Tangente a uma reta
- P2 NE IGO 2014
- P1 IMO 2018
- P1 IMO 2018 S2
- P1 IMO 2018 S3
- GP-A7-P1
- GP-A7-P2
- GP-A7-P3
- GP-A7-P4
- GP-A7-P5
- GP-A7-P6
- GP-Triângulo retângulo na circunferência
- Problema-5-Aula-7
- Problema-1-Aula-7
- Problema-2-Aula-7
- Problema-4-Aula-7
- Problema-7-Aula-7
- Problema-3-Aula-7
- Angulo Central e Inscrito-f
- Angulo Central e Inscrito-Caso III-f
- Angulo de Segmento-f
- Excêntrico Interior-f
- Excêntrico Exterior-f
- Centro de uma circunferência-f
- Circunferência Tangente a uma reta-f
- Areas e comprimentos-f
- Pentágonos-f
- Pi usando Maclaurin da arco-tangente-f
- Mesmo arco mesmo angulo-f
- Capa GOG-v-1
- P1-IMO-2018-S2-f
- P1-IMO-2018-S3-f
Quadriláteros inscritíveis, circunscritíveis e bicêntricos
- Três circunferências-II
- Construção Arco Capaz
- GP-Quadrilátero Inscritível-I
- Recíproca de quadriláteros inscritíveis
- GP-Quadrilátero Inscritível-II
- Recíproca de quadriláteros inscritíveis-II
- Teorema de Reim
- GP-Ida Pitot
- Volta de Pitot
- Quadrilátero bicêntrico
- Construção de quadrilátero bicêntrico
- Grande teorema de Poncelet
- Poncelet Parábola Triângulo Circunferência
- Poncelet-Elipse-Triângulo-Circunferência
- Poncelet Hipérbole Triângulo Elipse
- Pipa reta
- Trapézio bicêntrico
- P4 IMO 1967
- P5 IMO 1985-b
- P2 IMO 2009-b
- P23 SL IMO 2009
- P1 NA IGO 2015
- P3 NE IGO 2014
- GP-A8-P1
- Mapeando o segmento AB para o CD
- GP-A8-P2
- GP-A8-P4
- GP-A8-P4b
- GP-A8-P5
- GP-A2-P3
- GP-A8-P24
- CGP-Circunferência Inscrita
- Três circunferências tangentes entre duas paralelas
- GP-Todo triângulo é inscritível
- IGO 2017 P4 Nível Intermediário
- IGO 2017 P4 NI-Caso II
- Problema-2-Aula-8
- Problema-10-Aula-8
- Problema-5-Aula-8
- Problema-7-Aula-8
- Problema-4-Aula-8
- P23 SL IMO 2009-f
- Quadrilátero Inscritível-I-f
- Inversa de quadriláteros inscritíveis-f
- Quadrilátero Inscritível-II-f
- Tangentes a circunferência-f
- Ida Pitot-f
- Ângulos orientados e quadriláteros cíclicos
- P4 IMO 1967-f
- P4 IMO 1967a-f
- Quadrilatero-bicentrico-f
- Construcao-q-bicentrico-f
- Pipa-reta-f
- Trapezio-bicentrico-f
- t-Poncelet-f
- Quadrilatero-Inscritivel-I-f
- Rec-quadrilateros-inscritiveis-f
- Quadrilatero-Inscritivel-II-f
- Rec-quadrilateros-inscritiveis-II-f
- Teo-Reim-f
- Ida Pitot-f
- Volta-Pitot-f
- GP-A8-P1-f
Teorema de Miquel, Conjugados Isogonais e Triângulo Pedal
- Teorema de Miquel para triângulos
- Recíproca do Teorema de Miguel
- Pedal do ponto de Miquel
- T de Miquel Quadrilátero Completo
- USAMO 2006, Problema 6
- Teorema de Miquel-1
- Teorema de Miquel-Rec-1
- Teorema de Miquel para o pentágono
- Conjugados isogonais
- Ortocentro e baricentro são conjugados isogonais
- Critério de isogonalidade
- Teorema fundamental de isogonais
- Distância da simediana a dois lados
- Distância do simediano ao lado
- Construção alternativa de simediana
- Construção de simediano com quadrados
- Ceviana e áreas
- Simedianas dividem os lados opostos
- Problema com isogonais
- Triângulo equilátero de Morley
- Conjugado isotômico
- Pontos de Brocard de um Triângulo
- Definição de Triângulo Pedal
- Área mínima do triângulo pedal
- Seleção EUA 2008
- Mínimo da soma dos quadrados aos lados
- Lema para Erdős-Mordell
- Teorema de Erdős-Mordell
- P5 IMO 1991
- P5 IMO 1996
- Miguel Pivot Theorem
- Miquel para triângulos-f
- Conjugados isogonais-f
- Ortocentro e baricentro conjugados isogonais-f
- Construção alternativa de simediana-f
- Recíproca de Miquel-f
- Pedal do ponto de Miquel-f
- Problema com isogonais-f
- Conjugado isotomico-f
- T de Morley-f
- Definição de Triângulo Pedal-f
- Área mínima do triângulo pedal-f
- Seleção EUA 2008-f
- Pontos Isogônicos e Isodinâmicos-f
- Simediano com quadrados-f
- Distância do simediano ao lado-f
- Critério de isogonalidade-f
- Teorema fundamental de isogonais-f
- Distância da simediana a dois lados-f
- Soma dos quadrados aos lados-f
- Ceviana e áreas-f
- Simedianas dividem os lados opostos-f
- Lema para Erdös-Mordell-f
- Teorema de Erdös-Mordell-f
- P5 IMO 1991-f
- T-Miquel-QC-f
- USAMO-2006-P-6-f
Teoremas de Ptolomeu, Hiparco e Casey
- Áreas e Ptolomeu
- GP-A9-T-Ptolomeu
- Recíproca do Teorema de Ptolomeu
- Ptolomeu-Pitágoras
- GP-A9-E1
- Teorema de Hiparco
- Demonstração da Desigualdade de Ptolomeu-T
- Desigualdade de Ptolemeu
- Teorema de Casey
- Teorema de Casey-2
- P1-Casey
- P2-Casey
- Feuerbach provado com Casey
- Teorema de Sawayama-Thebault
- P11-SL-IMO-1995
- P4 SL IMO 1998
- P17 SL IMO 2001
- IMO 1997 SL P7
- GP-A9-E3
- GP-A9-E4
- GP-A9-P17
- GP-A9-P21
- GP-A9-P24
- Triângulo Pedal
- T-Ptolomeu-Ida
- T. de Ptolomeu-recíproca
- Problema-1-Aula-9
- Problema-4-Aula-9
- Problema-6-Aula-9
- Problema-8-Aula-9
- Problema-7-Aula-9
- P3-Casey
- P3 SL IMO 1993 Casey
- DemCasey-Alessandro
- Teorema de Casey-f
- Teorema de Casey-2-f
- Feuerbach provado com Casey-f
- P1-Casey-f
- P2-Casey-f
- Sawayama-Thebault-f
- Sawayama-Thebault-f-3
- P4 SL IMO 1998-f
- P17 SL IMO 2001-f
- Ptolomeu-Pitagoras-f
- GP-A9-E1-f
- T-Hiparco-f
- Casey com homotetia
Trigonometria e relações métricas no triângulo retângulo
- Relações Métricas no Triângulo Retângulo
- Radiano e mapeamento de circunferência em reta
- Funções Senos e Cossenos
- Funções Secante e Cossecante
- Seno Cosseno de Ângulos Notáveis
- Equivalente do primeiro quadrante
- Lei dos Senos
- Lei dos senos e isogonais
- Problema-6-Aula-10-Lei dos Senos
- Lei dos Cossenos
- Relação de Stewart
- Seno e Cosseno da Soma de dois Ângulos
- P1 NI IGO 2017
- P3 NE IGO 2015
- P3 NE IGO 2015-s2
- GP-A10-E-Lei dos Senos
- GP-A10-P2
- GP-A10-P3
- GP-A10-P4
- GP-A10-P5
- Problema-3-Aula-10
- Problema 2 - Aula 10
- Problema-7-Aula-10
- Problema-4-Aula-10
- Problema-5-Aula-10
- Teorema de Stewart
- Altura de um triângulo equilátero
- GP-Construir um triângulo retângulo
- Ângulo Comprimento de arco e Coordenada x
- Equivalente-primeiro-quadrante-f
- IMO 1974 P2
- SL IMO 1974 P2
- IMO 1974 P2-df
- IMO-SL-12-1975
- IMO-1975-P15
- P15-SL-IMO-1975-sen-cos
- Seno-Cosseno-Soma-f
- Lei-dos-Cossenos-f
- Relação de Stewart-f
- P1 NI IGO 2017-f
- Lei-senos-isogonais-f
- P6-A-10-Lei-Senos-Isogonais-f
- F-Seno-Cosseno-f
- F-Secante-Cossecante-f
- IMO-1975-P15-f
- Seno-Cosseno-Notaveis-f
- Lei dos Senos P3-L5-C-H
- L6-P9-Trigonometria
Potência de um ponto relativo a uma circunferência e Eixo Radical
- Não invariante
- Potência de um ponto
- Desigualdade-Potencia de um ponto
- Potência de um ponto-Quadrilátero Inscritível
- Pitágoras usando o T das Cordas
- Eixo-Radical-Algébrico
- Exemplos de eixo radical
- Eixo Radical
- Eixo Radical e Tangentes Externas
- Eixo Radical e Tangentes Internas
- Diferença de Potências de um ponto
- Círcunferências coaxiais
- Círculos coaxiais
- Círculos coaxiais-II
- Círculos coaxiais-III
- Três circunferências dois a dois ortogonais
- PP-1-Potência de um ponto
- Circunferências tangentes a outra passando por dois pontos
- IMO 1994 SL P15-apresentação
- P2 IMO 2009
- IMO 1971 SL P4
- P5 IMO 1985
- PP-3-Aula-1
- P8 NA IGO 2014
- PP3-Aula-1
- Círculos tangentes a dois outros-II
- Círculos tangentes a dois outros
- Circunferência com centro no eixo radical
- Circunferências tangentes a outras duas e passando por A
- IMO 1994 SL P15
- P5 IMO 2012
- C-tangentes-f
- Eixo-Radical-f
- Potencia-f
- P2 IMO 2009-f
- P5 IMO 1985-f
- Nao-invariante-f
- Experimento-invariante-f
- invariante-dois-pontos-f
- Pitagoras-T-Cordas-f
- P2-Aula Potência
- IMO-2009-P2
- PP1-Potência de ponto
Cálculo de áreas de diversas formas
- P3 IMO 1964
- Sequência Circunferências Triângulo Equilátero
- Construção de três circunferências ortogonais
- Fórmula tradicional
- Área-retas-paralelas
- Área com dois lados e o ângulo que eles determinam
- Fórmula de Heron
- Área usando o incírculo
- Área usando o incírculo-2
- Raio do incírculo no triângulo retângulo
- Circunferência ex-inscrita
- Área raio circunferência ex-inscrita
- Área utilizando o circuncírculo
- Relação entre as áreas de triângulos semelhantes
- Áreas para calcular razão de segmentos
- Área de quadrilátero convexo
- Áreas e comprimentos circunferência
- Cálculo de Pi
- Aproximação de áreas de arcos de circunferências de r=1
- Área de Polígono Inscrito e Circunscrito em círculo r=1
- T. de Pick-Polígonos Simples
- PP7-Áreas
- PR-1-Aula-2
- P2 IMO 1961
- P13 LL IMO 1967
- Igualdade de áreas num trapézio
- P2 IMO 1987
- P5 IMO 1988
- P2 NE IGO 2014 Áreas
- P4 NE IGO 2015
- P4 NE IGO 2015-paralelogramo
- PP2-Aula-2-Áreas
- GP-Áreas no Quadrado
- GP-Área-CR
- Quadrado Inscrito em Triângulo
- Area incirculo-f
- area com dois lados-f
- area-circuncirculo-f
- Area-incirculo-2-f
- Formula de Heron-f
- areas semelhantes-f
- area-retas-paralelas-f
- areas-razao-segmentos-f
- area-quadrilatero-convexo-f
- PR-1-Aula-2-f
- PP1-Áreas
- Áreas e Baricentro P5-IME-2002
- P6 IMO 1966
- P47 LL IMO 1977
- Cópia de GOG2024_POT 2012 (Ex5_Geo_N2_A12_Prof.Cícero Tiago)
Teoremas de Menelaus, Monge, Pascal, Pappus e Ceva. Divisão harmônica com régua.
- Menelaus´s theorem
- T-Menelaus-demo
- PP-1-T-Menelaus
- Teorema de Monge
- Pascal’s theorem
- Teorema de Pascal
- Pascal em Cônica
- Teorema de Pappus
- Ceva’s theorem
- T-Ceva-demo-1
- T-Ceva-demo-2
- Forma trigonométrica de Ceva
- Forma trigonométrica do T-Ceva
- Ponto médio somente com régua
- Divisão-Harmônica-Ceva-Menelaus
- Divisão harmônica usando Ceva e Menelaus
- PP-1-T-Ceva
- PP-3-T-Ceva
- Ceva-Menelaus e Divisão Harmônica
- Ceva’s theorem-f
- T-Ceva-demo-1-f
- Menelaus´s theorem-f
- T-Menelaus-demo-f
- Pascal’s theorem-f
- Teorema de Pascal-f
- Pascal-Conica-f
- Teorema de Pappus-f
- T-Ceva-demo-2-f
- Ponto-medio-ceva-f
- Trigonometrica-Ceva-f
- Forma-trigonometrica-Ceva-f
- DH-Ceva-Menelaus-f
- PP-1-T-Ceva-f
- PP-1-T-Menelaus-f
- Teorema-Monge-f
- PP5-IMO-Menelaus
- P9 SL IMO 1995
- P19 SL IMO 2006
- P1 SL IMO 1991
- P20 SL IMO 2007
- P30 LL IMO 1977
- P2 SL IMO 1991
- Desargues-radial-para-axial
- Divisão harmônica e o teorema de Desargues
- Quadrilátero inscrito partindo de Pascal
- T-Brianchon-Dual-T-Pascal
- Teorema de Brianchon
- Quadrilátero inscrito partindo de Brianchon
- Brocard’s theorem
Pontos notáveis: Baricentro
- Baricentro
- Homotetia e baricentro-2
- Homotetia com centro no baricentro
- Triângulos com o mesmo baricentro
- Razão entre segmentos e áreas
- Baricentro e triângulos de igual área
- Baricentro-igualdade de áreas passo a passo
- Leibniz’s theorem
- Relação de Stewart-2
- Baricentro minimiza soma dos quadrados das distâncias aos
- Demonstração Desigualdade de Ptolomeu
- Mínimo da soma dos quadrados por Ptolomeu e DT
- Conjugados isogonais-2
- Mínimo da soma dos quadrados aos lados-2
- Baricentro-Ortocentro-Incentro-Circuncentro-Triângulos
- Coordenadas trilineares
- Coordenadas baricêntricas
- Ponto de Fermat ou Torricelli
- Isogônicos e Isodinâmicos
- Teorema de Napoleão
- Triângulo Napoleônico Interno-C
- Triângulo Napoleônico Interno
- SL-P12-IMO-1987-Pol-5
- P36-IMO-1966
- P9-SL-IMO-1968
- P5 SL IMO 1998
- P27-LL-IMO-1974
- ER-1
- ER-2-Aula-4
- PP-1-Aula-4
- PP2 (IDA) Aula-4
- PP2 (VOLTA) Aula-4
- PP3-Aula-Baricentro
- PP4-Aula-4
- P6 IMO 1961
- Exmediam triangle
- Desigualdade de Ptolomeu-2
- Triângulo Napoleônico Interno-f
- Napoleão para quadriláteros-Thebault
- Problema de Thebault-I
- ER-1-Coordenadas Baricentricas
- PP-1-Coord-Baricêntricas
- Exemplos de coordenadas baricêntricas
- Simulação Prob-3
- SL-P12-IMO-1987-Pol-5-f
- Triângulo Napoleônico Interno-C-f
- P36-IMO-1966-f
- P9-SL-IMO-1968-f
- Baricentro e triângulos de igual área-f
- P5 SL IMO 1998-f
- P27-LL-IMO-1974-f
- Baricentro-minimiza-Stewart-f
- T-Leibniz-f
- PP-1-Aula-4-f
- Problema-Thebault-I-f
- PP3-Aula-Baricentro-f
- Baricentro-f
- P1.a, m_b, m_c-Baricentro
Pontos notáveis: Circuncentro e Ortocentro.
- Ponto sobre a mediatriz
- Concorrência das mediatrizes
- Concorrência das alturas no ortocentro
- Ângulos iguais ortocentro e circuncentro
- O e H são conjugados isogonais
- Baricentro-2
- Reta de Euler-2
- Trapézio isósceles é inscritível
- Distância vértice ortocentro
- Círculo de nove pontos-2
- Homotetia centro H e fator 1/2
- Circulo de nove pontos como LG
- Sistema ortocentrico
- Triângulo órtico-2
- Ortocentro-mínimo perímetro de triângulo pedal
- Problema de Fagnano-C-H
- Ortocentro-linha unindo ortocentro de dois triângulos
- PR-2-ortocentro
- PP8-ortocentro
- Imagens do Ortocentro na circunferência circunscrita a ABC
- Ortocentro e circunferências
- Ortocentro como centro radical
- Ortocentro-paralelas e antiparalelas
- Círculo de 9 pontos
- Concorrência Dois quadrados e uma altura
- PP1-Circuncentro e Ortocentro
- P14 SL IMO 1982
- P32 SL IMO 1989
- P5 SL IMO 1990
- P14 SL IMO 1995
- P10 SL IMO 1996
- P12 SL IMO 1996
- Ponto sobre a mediatriz-f
- Concorrencia-mediatrizes-f
- Concorrencia-alturas-f
- Angulos-ortocentro-circuncentro-f
- Circulo de nove pontos-f
- Trapezio-isosceles-inscritivel-f
- Distancia-vertice-ortocentro-f
Pontos notáveis: Incentro.
- CGP-Bissetriz-1
- Pontos sobre a bissetriz equidistam dos lados
- Bissetrizes internas concorrentes
- Métrica de Circunferência Inscrita
- Teorema da Bissetriz Interna
- Medida dos segmentos determinados pela bissetriz
- Razão das medidas vértice-incentro e incentro-pé
- PR2-Incentro
- Medida da bissetriz
- Área usando o incírculo-2a
- Área usando o incírculo-2b
- Ponto equidistante de B-C-I-I_a
- Distância entre Circuncentro e Incentro
- Distância IO
- Ponto de Gergonne
- PR1-Incentro
- P9 LL IMO 1967
- P12 SL IMO 1978
- P18 SL IMO 1984
- P18 SL IMO 1984-2
- Construcao-Bissetriz-f
- bissetriz-equidistam-f
- Bissetrizes internas concorrentes-f
- T-Bissetriz-Interna-f
- Medidas-determinadas-bissetriz-f
- vertice-incentro e incentro-pe-f
- Medida da bissetriz-f
- P9 SL IMO 1990
Circunferências ex-inscritas
- Pontos na Bissetriz
- Concorrência de duas bissetrizes externas com uma interna
- Triângulo ex-central de ABC
- Teorema da Bissetriz Externa
- Teorema da Bissetriz
- Circunferência Inscrita e Ex-inscrita-Parte-II
- Circunferência Ex-inscrita-Parte-II
- Ponto médio coincidente
- Área em função do raio de uma circunferência ex-inscrita
- A6-Incentro-T6
- Euler-distância IO
- PR1-Aula-7
- PR3-Aula-7
- PP3-Ex-círculos
- PP4-Aula-7
- Teorema de Feuerbach
- Feuerbach-lema-1
- Feuerbach-lema-2
- Feuerbach-lema-3
- Feuerbach-demo-i
- Ponto de Nagel
- Reta de Nagel
- Retas de Nagel e Euler
- Ponto de Nagel divide o perímetro ao meio
- Ponto de Spieker e reta de Nagel
- Cevianas de Nagel-pontos de tangência do circulo de Spieker
- Ponto médio vértice-Nagel
- P1 IMO 1970
- P20 SL IMO 1992
- P16 SL IMO 2005
- P16 SL IMO 2005-b
- P18 SL IMO 2006
- L2-P12 SL IMO 1999
- P12 SL IMO 1999
- P3 SL IMO 1993
- P4 LL IMO 1974
- P23 LL IMO 1986
- T. de Feuerbach
- Desafio-Ex-círculos-Rafael
- P1 IMO 1970-f
- Circunferencia Inscrita-f
- Ex-inscrita-f
- P16 SL IMO 2005-f
- P18 SL IMO 2006-f
- P20 SL IMO 1992-f
- Ponto médio coincidente-f
- A6-Incentro-T6-f
- Euler-distância IO-f
- P12 SL IMO 1999-f
- L2-P12 SL IMO 1999-f
- P16 SL IMO 2005-b-f
- Teorema de Feuerbach-f-1
- Feuerbach-lema-1-f
- Feuerbach-lema-2-f
- Feuerbach-lema-3-f
- Feuerbach-demo-i-f
- Concorrencia-bissetrizes-externas-f
- area-ex-inscrita-f
- T-Bissetriz-Externa-f
- Triangulo-ex-central-f
Triângulo Pedal
- Definição de Triângulo Pedal-2
- Lei dos Senos-2
- Lados do triângulo pedal
- Área do triângulo pedal
- Área mínima do triângulo pedal-2
- Triângulo Pedal e Reta de Simson-Wallace
- Reta de Simson bisecta HP quando P está no circuncírculo
- Triângulo órtico
- Carnot para o circuncentro
- Carnot pontos nos lados
- Pedal ponto interior Carnot
- Triângulos ortológicos
- Carnot’s theorem
- Pedais de Apolônio gera isósceles
- Apolônio e pontos isodinâmicos
- Triângulos pedais de isodinâmicos são equiláteros
- Homotetia de Pedal de Isodinâmico
- Área mínima de triângulo equilátero inscrito
- Triângulo Antipedal
- Triângulo ex-central é antipedal de I
- Pedal de P e seu isogonal
- Deltoide com retas de Simson
- Incentro de Triângulo Pedal
- Simson-Wallace-f
- Lados-triangulo-pedal-f
- Lei-dos-Senos-f
- area-triangulo-pedal-f
- Pedais-Apolonio-gera-isosceles-f
- Triangulos-pedais-equilateros-f
- Homotetia-Pedal-Isodinamico-f
- P2 IMO 1993-pedal
- P3 SL IMO 1991
- IMO-2007-P2
- P20 SL IMO 1997
- P2 SL IMO 1993
- P5 IMO 1996-b
Centros de triângulo, Longchamps, Exeter, Schiffler, Gossard, Bevan e Brocard. Reta de Euler.
- Baricentro (Cap-Retas)
- Reta de Euler
- Ponto de Longchamps X(20) Reta de Euler
- Ponto Exeter X(22) Reta de Euler
- Ponto de Schiffler
- Gossard perspector X(402)
- Oito centros de triângulo na reta de Euler
- Primeiro e segundo ponto de Brocard
- Ponto de Bevan
- Ponto de Bevan
- Reta central associada a centro de triângulo
- Trapézio isósceles é inscritível (Cap-Retas)
- Círculo de nove pontos
- Homotetia com centro em H e fator 1/2
- Reflexões de H
- Círculo de 9 pontos-incírculo e excírculo
- Corda na perpendicular a um vértice
- Reta de Euler-f
- Circulo de nove pontos-f
- PR-5-Aula-9
- Homotetia-centro-H-f
Jogos e problemas olímpicos envolvendo caminhos mínimos e desigualdades
- GP-MaiorLado-MaiorAngulo
- Maior lado maior ângulo
- GP-Desigualdade Triangular
- CGP-Construção de um Triângulo-DT
- Desigualdade Triangular Demonstração
- Lei da Reflexão
- Problema do Cowboy I
- Problema do Cowboy II
- IMO 1973 P4
- Faixa de Pedestre
- Rio Traiçoeiro
- Rio Traiçoeiro-2
- Elipse
- Jogo do primeiro ponto isogônico ou Fermat
- Demonstração do mínimo no ponto de Fermat
- Ponto de Fermat maior que 120
- Jogo sobre o Problema de Fagnano
- Triângulo órtico-3
- Fagnano por reflexão-2
- PP7-A-10-Fagnano
- P5 NE IGO 2014
- Médias
- Média Harmônica com Alturas
- Desigualdade de Cauchy-Schwarz
- P1 IMO 1976
- P1 IMO 1981
- P7 SL IMO 1999
- P1 IMO 2001
- IMO 1995 SL P11
- P7 SL IMO 1999-f
- Maior lado maior ângulo-f
- Desigualdade Triangular-f
- P1 IMO 2001-f
- P1 IMO 1976-f
- P1 IMO 1981-f
- CAS-P6-IMO-1983
- P6 IMO 1983
- P6 IMO 1983-f
- PP1- Aula 10
- Medias-f
- Ponto minimiza a soma quadrática sobre os lados
- ponto de Fermat-f
- Ponto de Fermat maior que 120-f
- Elipse-f
- Problema-Cowboy-I-f
- Problema do Cowboy II-f
- Jogo-Desigualdade-Triangular-I-f
- Jogo-Desigualdade-Triangular-II-f
- Lei-Reflexao-f
- Rio-Traicoeiro-f
- IMO 1973 P4-f-0
- Jogo-Fagnano-f
- Jogo-Fermat-f
- Faixa-Pedestre-f
- Rio Traiçoeiro-2-f
- Triangulo-ortico-f
Transformações geométricas I. Translações
Transformações geométricas II - Simetria e rotação
- Transformação de rotação
- Propriedade da rotação
- Definição de Simetria em relação a um ponto
- Simetria em relação a um ponto
- Simetria em relação a uma reta
- Reflexões por retas paralelas
- Reflexões por retas não paralelas
- Composição de Rotações relativas a três centros
- prob-2-Excalibur-v13-n-3
- prob-3-Excalibur-v13-n-3
- Composição de Rotações II
- prob-5-Excalibur-v13-n-3
- E4-Excalibur-v13-n-2
- Propriedades da rotação e quadrados
- E6-Excalibur-v13-n-2
- P5 IMO 1985
- E8-Excalibur-v13-n-2
- Semelhança espiral ou roto-homotetia
- Mapendo dos segmentos por roto-homotetia
- E9-Excalibur-v13-n-2
- E10-Excalibur-v13-n-2
- P6 SL IMO 1998
- Composição de homotetias
- Composição de homotetias-II
- prob-1-Excalibur-v13-n-3
- prob-6-Excalibur-v13-n-3
- Triângulo órtico-2
- Problema de Fagnano
- Fagnano por reflexão
- Comandos Empacotar e Sequências
- Cicloide
- Epicicloide
- Cardioide como caso particular de Epicicloide
- Mandala Cardioide caso Epicicloide
- Mandala Cardioide Polares
- Hipocicloide
- Hipocicloide-mandala
- Hipocicloide-mandala-f
- Epicicloide-f
- Simetria-relação-ponto-f
- Triangulo-ortico-f
- Problema-Fagnano-f
- Fagnano-reflexao-f
- prob-7-aula-simetría-II
- Equilátero entre paralelas
Transformação de Inversão relativa a uma circunferência
- Círculos tangentes a outros dois-III
- Steiner Chain
- Corrente de Steiner
- Corrente de Pappus
- Inversão em relação a uma circunferência
- Construção com compasso do ponto inverso
- Inverso de A-dentro e fora-em relação a c
- Inversa de triângulo
- Projeção Estereográfica
- Inversão de reta em relação a circunferência
- Inversa de circunferência passando pelo centro de inversão
- Mecanismo de Peaucellier–Lipkin
- Inversão de Circunferência que não passa por O
- Inversão-Potência e Semelhança
- Inversão preserva os ângulos localmente
- Ângulo entre circunferências preservado pela inversão
- Quarta circunferência por inversão
- Circunferência por P e P' ortogonal a de inversão
- Inversão de circunferências ortogonais
- Divisão harmônica e inversão
- Divisão harmônica e inversão
- Centro da inversa de uma circunferência
- Centro de circunferência inversa de uma reta que não passa
- Inversão de centro de circunferência passando por O
- Inverso de centro de circunferência II
- Inverso de centro de circunferência III
- Inversão de reta e circunferência em c concêntricas
- Inversão de circunferências disjuntas em concêntricas
- Pontos inversos comum a duas circunferências
- Quatro circunferências tangentes a outra em anel
- Apolônio-X
- Apolônio-I
- Apolônio-II
- Apolônio-III
- Apolônio-IV
- Apolônio V
- Apolônio VI
- Apolônio VII
- Apolônio-VIII
- Inversão \sqrt{bc} III
- P12 SL IMO 1982
- P14 SL IMO 1986
- P4 IMO 1969
- P4 IMO 1969-i
- IMO 1994 SL P15-inversão
- Duas circunferências ortogonais a uma terceira
- Inversões sucessivas
- Polo e polar. Teorema La Hire
- Pontos colineares polar concorrentes
- Polar e secante
- Polar e divisão harmônica
- Duas secantes e polar
- Inversão com centro no primeiro isodinâmico
- Semelhança de A'B'C'
- Distância Inversiva
- Três circunferências tangentes dois a dois
- Construção do conjugado harmônico de P no segmento AB
- IMO 1994 SL P15 Inversão
- Inversão em relação a um círculo
- Inversão de uma corda
- Construção do inverso-P no exterior de c
- Inversa de parábola
- Inversa de hipérbole
- Composição de inversões
- Inversão \sqrt{bc}
- Roto-homotetia
- Definição de roto-homotetia
- Inversão \sqrt{bc} II
- Inversão \sqrt{bc} IV
- Incírculo mixtilinear
- Inversão relativa ao incírculo
- Inversão de reta e C em circunferências concêntricas
- Centro da inversa de uma circunferência-f
- Circunferência por P e P' ortogonal a de inversão-f
- Inversão em relação a uma circunferência-f
- Inversão de reta em relação a circunferência-f
- Inversão e centros de semelhança
- Inversão-Potência e Semelhança-f
- P14 SL IMO 1989
- P7 SL IMO 1992
- P7 SL IMO 1992-f
- P2 IMO 1993
- P2 IMO 1993-f
- Inversa de triângulo-f
- P2 IMO 1993-i-f
- P2 IMO 1996
- P4 IMO 1969-i-f
- P2 IMO 1996-i
- P9 SL IMO 1997
- P9 SL IMO 1997-i
- P8 SL IMO 1999-a
- Circunferência ortogonal ao círculo de inversão
- Ida Ptolomeu Inversão
- Círculos do mesmo raio por inversão
- P8 SL IMO 1999-a-f
- Ptolomeu Inversao-f
- Inversao preserva os angulos localmente-f
- P4 IMO 1969-f
- P9 SL IMO 1997-f
- P9 SL IMO 1997-i-f
- angulo entre circunferencias preservado pela inversao-f
- P2 IMO 1996-i-f
- P2 IMO 1996-f
- Divisao harmonica e inversao-f
- Inversao de centro de c passando por O-f
- Inverso de centro de circunferencia II-f
- Inverso de centro de circunferencia III-f
- Centro de circunferencia inversa de uma reta que nao passa-f
- P14 SL IMO 1986-f
- Inversao de reta e circunferencia em c concentricas-f
- Inversao de circunferencias ortogonais-f
- Pontos Magicos-f
- Circulos tangentes a outros dois-III-f
- P12 SL IMO 1982-f
- P8 SL IMO 1999-b
- P8 SL IMO 1999-b-f
- Steiner Chain-f
- Inverso de A-dentro e fora-f
- Construcao com compasso do ponto inverso-f
- Projecao Estereografica-f
- Mecanismo de Peaucellier–Lipkin-f
- Quarta circunferencia por inversao-f
- Polo-polar-f
- Inversao-centro-primeiro-isodinamico-f
- Semelhança-A'B'C'-f
- Corrente de Pappus-2
- Inversa de circunferências tangentes e ortogonais
Outros