Conclusie
Na het bekijken van alle activiteiten kunnen we zien dat er veel verschillende mogelijke 2D intersection vormen zijn die kunnen worden gemaakt door variabelen en/of constanten te wijzigen. Deze vormen omvatten; cirkels, ellipsen, parabolen, hyperbolen en zeer zelden een driehoek. Voor elke vorm zijn er specifieke omstandigheden die waar moeten zijn voor de vormen. Deze omstandigheden zijn allemaal genoemd in de mini-conclusies met de activiteiten, maar hieronder is ook een samenvatting van elk (met nog wat extra info):
Circle
Het snijpunt tussen de kegel en het vlak zal een perfecte cirkel zijn wanneer het vlak precies loodrecht op de kegel staat. Met andere woorden, het vlak moet exact horizontaal zijn. Het is vaak erg moeilijk om te zien of een vlak exact horizontaal is, dus een andere manier om te weten dat een perfecte cirkel is gemaakt, is door te kijken naar de parametrische coördinaten die door het snijpunt zijn gecreëerd. Omdat er geen helling is in de richting van de z-as, moet de waarde voor "z" nul zijn. De parametrische weergave van een cirkel zal er dus als volgt uitzien:
of
Omdat het vlak perfect horizontaal moet zijn, kunnen we de vergelijking van een cirkel en de parametrische coördinaten gebruiken om aan te tonen dat dit inderdaad een cirkel is:
(vergleiking van een circle)
(substituted LHS)
(expanded)
(simplified)
(because )
Uit deze substitutie komt een r waarde van . Omdat dit een constante is (zonder enige variabelen erin (bijv. 2t)) volgt het de vergleiking van de circle. En kunnen wij zeggen dat wij inderdaad met de kegelsneden een circle gemaakt hebben.
Ellips
Een ellips wordt gevormd wanneer de helling van de zijkant van de kegel steiler is dan de helling van het vlak. Een andere manier om dit te zeggen zou zijn dat de hoek die de zijkant van de kegel creëert met de horizontale as groter is dan wat het vlak creëert met de horizontale as. Een andere manier om te controleren of een ellips is gemaakt, zou zijn door opnieuw de parametrische coördinaten te gebruiken die door intersect (e) zijn gegeven. De parametrische weergave van een ellips zal er als volgt uitzien:
of
Het is heel duidelijk dat de parametrische weergave van een ellips sterk lijkt op die van een cirkel. Dit is logisch, omdat een ellips in wezen slechts een cirkel is, maar in plaats van horizontaal te zijn (z = 0), wordt hij enigszins gekanteld om de uitgerekte cirkel te vormen. Hierboven met de cirkel hebben we bewezen dat de parametrische weergave klopt door de vergelijking van een cirkel te gebruiken. De vergelijking van een ellips op een 3D-cartesisch vlak ligt echter ver boven het niveau van wiskunde dat ik momenteel aan het leren ben. Bovendien kon na onderzoek geen 'enkele' vergelijking worden gevonden. Alle voorbeelden gebruikten ten minste twee verschillende vergelijkingen. Dus bij deze kijken wij alleen naar de parametrische weergave.
Parabool
Een parabool is een veel zeldzamere vorm, omdat voor een parabool de helling van het vlak precies gelijk moet zijn aan die van de zijkant van de kegel. Dit betekent dat er zeer specifieke voorwaarden moeten gelden om de parabool te kunnen vormen. Dat merkten we bij de activiteiten omdat er bij de meeste activiteiten alleen parabolen waren als de schuifregelaar op 1 stond. Om helemaal eerlijk te zijn is dit niet waar. Als we de parametrische weergaven van elke activiteit bekijken, kunnen we zien dat de vorm geen perfecte parabool was als de parameter = 1. Omdat een parabool alleen verschijnt bij de zeer specifieke condities, is er een heel specifieke waarde nodig om die parabool te vormen. Deze waarde is dan ook per activiteit verschillend. En om deze waarde te berekenen, is een hoger niveau van wiskunde nodig dan ik momenteel heb. Ik heb het geluk dat ik een wiskundeleraar van hoog niveau heb die me hier thuis bij heeft geholpen. De specifieke waarde is namenlijk niet 1 maar (voor de laatste activiteit). Na het invullen van deze waarde in de laatste activiteit kunnen we de parametrische weergave voor een parabool zien:
of wel
Opnieuw krijgen we dezelfde situatie met de ellips. Met mijn huidige niveau van wiskunde zou het een hele uitdaging zijn om te proberen te bewijzen dat de parametrische weergave klopt door het in de vergelijking te vervangen door een parabool in een 3D-ruimte. Maar wat je hier wel uit moet halen is dat parabolen erg moeilijk te produceren zijn met een kegelsneden en dat ze alleen onder zeer specifieke omstandigheden voorkomen.
Hyperbool
Als we tenslotte naar de hyperbool kijken, zijn er veel verschillende manieren om een hyperbool of op zijn minst een deel van een hyperbool te creëren. Ik geloof dat de hyperbool de meest voorkomende vorm is die je bij deze activiteiten kunt creëren, maar bij deze activiteiten waren er weer veel dingen die ik nog nooit eerder heb gezien (zoals de hyperbolische sinus). Zoals al vaker in dit boek is vermeld, ontstaat er een hyperbool wanneer de helling van het vlak steiler is dan die van de zijkant van deze kegel. Als de kegel eeuwig zou doorgaan (richting positieve en negatieve oneindigheid) zouden we beide hyperbooltakken kunnen zien. Bij de bovenstaande activiteiten zagen we echter maar één kant van de hyperbool omdat de kegel zich alleen aan de positieve kant van het cartesische vlak bevindt. Er is verder niet zoveel bijzonders aan een hyperbool, dus hier is de parametrische weergave:
of wel
Zoals ik al zei, zijn de hyperbolische sinus en cosinus volledig nieuwe concepten voor mij. Maar de repetitieve aard van deze parametrische visie doet mij geloven dat dit waar is. Het is ook logisch om een hyperbolische sinius te hebben met een hyperbool.
We zijn aan het einde van dit boek gekomen. Ik hoop dat je iets nieuws hebt geleerd of ontdekt. In het volgende hoofdstuk is er een activiteit waarbij u alle verschillende parameters tegelijkertijd kunt wijzigen voor verdere verkenning.