Infinito dividido infinito
En esta página proporcionamos algunos ejemplos de límites con la indeterminación infinito partido infinito y vemos algunas reglas para evitarla. Especialmente, hacemos hincapié en los límites de cocientes de polinomios (funciones racionales).
1. Indeterminación ∞/∞
Consideremos las siguientes funciones racionales:
Si hacemos tender x a infinito, aparece la indeterminación infinito partido infinito en ambas funciones. Sin embargo, si observamos las gráficas de las funciones, deducimos que el límite (cuando tiende a +∞) de f(x) es 0 y el de g(x) es 2:
Este ejemplo prueba que la expresión infinito partido infinito es una forma indeterminada. Es decir, los límites de funciones en los que aparece infinito partido infinito pueden ser distintos.
Si hacemos tender x a infinito, aparece la indeterminación infinito partido infinito en ambas funciones. Sin embargo, si observamos las gráficas de las funciones, deducimos que el límite (cuando tiende a +∞) de f(x) es 0 y el de g(x) es 2:
Este ejemplo prueba que la expresión infinito partido infinito es una forma indeterminada. Es decir, los límites de funciones en los que aparece infinito partido infinito pueden ser distintos.2. Comparación de funciones
En un cociente de dos funciones, f(x)/g(x) , si el crecimiento de ambas funciones es muy distinto, el límite cuando x tiende a infinito es 0 ó infinito.
Por ejemplo, un logaritmo crece mucho más lento que un monomio/polinomio. Y un monomio/polinomio crece mucho más lento que una exponencial. Las raíces tienen, normalmente, un crecimiento entre el logarítmico y polinómico.
Gráficas:
En estos casos, si la función de crecimiento mayor es la del denominador, el límite es 0. Si es la del numerador, el límite es infinito.
Por ejemplo:
En estos casos, si la función de crecimiento mayor es la del denominador, el límite es 0. Si es la del numerador, el límite es infinito.
Por ejemplo:
- Como la exponencial crece más rápido que un monomio,
- Como la exponencial crece más rápido que una raíz,
3. Cocientes de polinomios
El crecimiento de un polinomio depende, básicamente, del coeficiente principal del mismo. Por ejemplo, un polinomio de grado 4 crece más rápido que uno de grado 2.
Aplicando la misma regla que vimos en el apartado anterior, el límite de un cociente de polinomios es infinito si el grado del polinomio del numerador es mayor que el del numerador. Si, por el contrario, el grado del polinomio del denominador es mayor, el límite es 0.
Por ejemplo:
Cuando los grados de los polinomios del cociente es el mismo, el crecimiento de los polinomios es similar y, por tanto, el cociente presenta una asíntota horizontal. En este caso, el límite del cociente d ellos polinomios es el cociente de los coeficientes principales de éstos.
Por ejemplo,
Para ser más exactos, la regla es la siguiente:
Sean N(x) y D(x) dos polinomios de grados g(N) y g(D) y con coeficientes principales n y d. Entonces, el límite de su cociente es
En el tercer caso,
donde K es
- El grado del numerador es mayor:
- El grado del denominador es mayor:
Cuando los grados de los polinomios del cociente es el mismo, el crecimiento de los polinomios es similar y, por tanto, el cociente presenta una asíntota horizontal. En este caso, el límite del cociente d ellos polinomios es el cociente de los coeficientes principales de éstos.
Por ejemplo,
Para ser más exactos, la regla es la siguiente:
Sean N(x) y D(x) dos polinomios de grados g(N) y g(D) y con coeficientes principales n y d. Entonces, el límite de su cociente es
En el tercer caso,
- Si x tiende a infinito positivo, el signo del infinito del límite es el signo de n/d.
- Si x tiende a infinito negativo, el signo del infinito del límite es
donde K es
- +1 si los grados de N(x) y D(x) son ambos pares o ambos son impares.
- -1 en caso contrario.
Ejemplo 1
Solución:
Como los grados de los polinomios son iguales, el límite es el cociente de los coeficientes principales:
Ejemplo 2
Solución:
Como el grado del numerador es mayor, el límite es infinito. Como el cociente de coeficientes es negativo y los exponentes son par e impar, el signo del infinito es positivo:
Si escribimos potencias de infinitos, tenemos
El cubo es negativo y el cuadrado es positivo, pero como hay un signo negativo delante del cubo, su resultado es positivo.
Más ejemplos en indeterminación infinito partido infinito.