Ortocentro

Autore:
gra genti

Ortocentro

Le tre altezze di un triangolo, o i loro prolungamenti, si incontrano in un punto. Tale punto è detto ortocentro.
IpotesiTesi
  • ABC è triangolo;
  • AK è altezza relativa al lato BC;
  • BH è altezza relativa al lato AC;
  • CJ è altezza relativa al lato AB.
  • AK, BH e CJ si intersecano in uno stesso punto.
Costruzione Disegnare un triangolo ABC e le sue altezze AK, BH e CJ; per ogni vertice del triangolo tracciare la parallela al lato opposto; le tre rette formano il triangolo DEF.
Dimostrazione
  1. BAFC e BEAC sono due parallelogrammi perchè hanno i lati opposti paralleli.
  2. Poichè in un parallelogrammo i lati opposti sono congruenti: BC=AF e BC=EA.
  3. Per la transitività della congruenza si ottiene AF=EA, ossia A è punto medio di EF.
  4. Essendo AK perpendicolare a BC e BC//EF allora AK è perpendicolare a EF
  5. Per 3. e 4. AK è asse di EF; analogamente BH e CJ sono assi rispettivamente di FD e ED.
  6. Allora AK, BH e CJ si intersecano in uno stesso punto che è il circocentro di EDF.
c.v.d.