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Recherche d’un point fixe

Énoncé

Dans le plan complexe orienté, on considère un triangle OO’A de sens direct, rectangle en O. On considère M un point du cercle C de centre O et passant par A. On désigne par S la similitude directe de centre A qui transforme O en O’ et on désigne par M’ le point image de M par la similitude S. On cherche à prouver que la droite (MM’) passe par un point fixe. 1. À l'aide d'un logiciel de géométrie plane, construire la figure associée à la situation décrite ci-dessus. 2. Construire l'image C’ du cercle C par la similitude S. Caractériser cet ensemble C’. 3. Quelle conjecture peut-on émettre pour la droite (MM’) lorsque M décrit le cercle C ? Appeler l'examinateur pour une vérification de la construction faite. On appelle A et B les points d'intersection de C et C’. 4. On pose S(B) = B’. Quelle propriété relative est vérifiée par les triangles ABB’ et AOO’ ? Justifier. 5. Positionner le point M afin que le point B soit entre les points M et M’. 6. Donner des arguments mathématiques permettant de prouver que les points M, B et M’ sont alignés.
Indications A est le point fixe de la similitude. L'image du cercle C de centre O et passant par A est le cercle C’ de centre O’ et passant par A. Les points M, B et M’ sont alignés. Descartes et les Mathématiques - Épreuve pratique 2009 de terminale S Version classique