Wipe out. El meu raonament.
Raonament en veu alta.
Gauss...
La suma dels N primers nombres naturals dona el mateix que el primer valor més l'últim, dividit entre dos. (Anècdota de Gauss de la suma dels primers cent nombres naturals).
Si recordem la fórmula pels N primers termes de la successió aritmètica de diferència 1:
(1+N)*N/2. Com que N és un nombre parell, el podem escriure N=2n, de manera que tenim (1+2n)*2n/2= (1+2n)·n
Per calcular la mitjana, haurem de dividir entre el nombre de valors, o sigui 2n.
Per tant ens queda (1+2n)/2, o sigui 1/2+n. Per això la mitjana sempre té 0,5 de part decimal.
Si ho mirem per alguns casos particulars.
N=2
Si comencem comptant el cas N=2, puc eliminar els dos elements, perquè en quedar una llista de dos nombres i eliminar-ne un, queda el cas trivial. I en els dos casos el resultat és enter.
N=4
També podem agafar el primer i el darrer, però en cap cas, els dos valors centrals, ja que no dona un valor enter.
- Si eliminem el 4,el que ens queda és 1,2,3, que clarament té mitjana 2.
- Si eliminem l'1, el que ens queda és 2,3,4, que és la mateixa sèrie que abans amb un 1 sumat a cada terme, per tant, la mitjana serà 3.
- Eliminem el darrer terme (6), ens queda una progressió aritmètica de diferència 1, amb 5 termes,amb una mitjana de 3, molt clara.
- Si eliminem l'1, també ens queda una sèrie aritmètica idèntica a l'anterior, sumant 1 a cada element, per tant, la mitjana serà clarament 4. M'adono que traient l'1, obtinc l'enter superior a la mitjana inicial, i traient el 6, l'enter immediatament inferior a la mitjana inicial.
- Si eliminem l'1 de la llista, ens queda una llisa 2, 3,4,... 2n+1, que és el mateix que una llista 1,2,3..2n (tractada abans) amb un 1 afegit a tot arreu, de manera que el promig serà n+1/2+1= n+3/2
- Si eliminem el 2n+1 de la llista, ens queda la llista 1,2,3,...2n, amb un promig de n+1/2.