Il concetto di limite - approssimazioni successive
Come già sappiamo, esistono dei punti in cui la funzione non può essere valutata: quelli che non appartengono al suo dominio. Un'informazione molto utile per poter tracciare una buona stima del grafico della funzione si ottiene indagando come si comporta la funzione vicino ai confini del dominio, cioè quando si avvicina ai punti in cui non esiste.
Ad esempio sappiamo che la funzione esiste solo per , di conseguenza potremo calcolare la funzione solo fino a 3. Lo strumento del limite di funzione ci permette di capire che andamento ha la funzione man mano che si avvicina alla zona "vietata" in cui non può essere valutata.
Nella prima animazione vediamo un esempio delle informazioni che si possono ottenere da questo tipo di indagine, senza entrare per il momento nel merito del come si calcolano, per capire innanzitutto l'obiettivo e l'utilità di questo strumento.
LIMITE COME STIMA PER APPROSSIMAZIONI SUCCESSIVE
Il modo più intuitivo per capire il concetto di limite è forse il seguente. Le funzioni hanno in genere dei valori che non rispettano le C.E. delle proprie espressioni, e per i quali quindi non è possibile ottenere dei risultati: questi valori non fanno parte del dominio della funzione. Il limite si chiede allora come si comporta la funzione per valori "vicini" a questi valori vietati, ovvero che andamento ha la funzione mano a mano che si avvicina al "bordo" del suo dominio.
In realtà si può calcolare il limite "vicino" a qualsiasi valore della , anche uno che appartiene al dominio, ma effettivamente i valori "vietati" sono quelli per cui il risultato del limite è più interessante. Questo ci aiuta a ricordare che il limite si occupa del comportamento VICINO al valore considerato (cioè simile ad esso), ma NON del risultato generato dalla funzione nel valore stesso, di cui il limite non sa niente e non si occupa.
Un primo modo intuitivo per vedere i primi limiti è pensare di darne una stima per approssimazioni successive. Ad esempio sappiamo che la funzione non esiste quando , ma possiamo vedere come si comporta vicino a questo valore calcolandone il risultato per valori sempre più simili ad esso, ad esempio per , poi per , poi così via, osservando come cambia di conseguenza il risultato della funzione. Mettendo questi risultati su un grafico, abbiamo una rappresentazione visuale immediata del comportamento della funzione.
Facciamo una prova. Invece di fare tutti i calcoli a mano, però, facciamoci aiutare da Geogebra in modo da far lavorare lui al posto nostro.
ATTENZIONE: se vuoi utilizzare in modo agevole lo strumento proposto in questo percorso, è necessario farlo tramite un PC
Innazitutto guarda questo video che ti spiega come generare una tabella di valori ed ottenerne il grafico su Geogebra (uhm, it is in English, but this is not a problem for you, is it?)
Tutto chiaro? Allora è giunto il nostro momento! Useremo la applet qui sotto per fare i nostri primi esperimenti, ma una volta che hai capito puoi tenerti il tuo ambiente a portata di mano sul PC/tablet/smartphone!
IL NOSTRO PRIMO STUDIO DI LIMITE
Vogliamo studiare come si comporta la funzione vicino ai suoi valori vietati.
Svolgendo le C.E. troverai facilmente che esse danno ; per iniziare consideriamo il valore . Partiremo da e ci avvicineremo di un centesimo alla volta (, ...) continueremo fino a (vedremo cosa succede) e proseguiremo, sempre aggiungendo , fino a . In questo modo vedremo il comportamento allo da entrambi i lati.
Scriviamo nella prima cella dei valori , la A2 il primo valore che vogliamo considerare digitando -0,10.Prima do proseguire è importante ricordare altri due trucchi essenziali dei fogli di calcolo per far lavorare il programma al posto nostro.
1) INSERIRE LE FORMULE: spiega al foglio di calcolo come è fatta la formula che permette di ottenere il risultato. Dato che l'espressione della nostra funzione è , nella prima cella utile della colonna delle , la cella B2, dobbiamo scrivere questa espressione,
- mettendo ogni volta A2 al posto della (è in quella cella che si trova!),
- ricordando che il simbolo di potenza è ^
- facendo attenzione alle parentesi.
Non è finita qui. Dopo aver inserito nella prima cella dei punti, la C2, le istruzioni su come costruire il primo punto, selezioniamo le celle B2 e C2 e trasciniamole verso il basso: dentro ognuna di esse ci sono le istruzioni per compilarle, e trascinandole verso il basso tali istruzioni verranno adattate per costruire tutti gli altri elementi della tabella.
![Nelle celle [color=#ff7700][b]B2[/b][/color] e [b][color=#38761d]C2[/color][/b] abbiamo inserito le formule per ottenere rispettivamente la [math]\large{y}[/math] ed il punto; dato che nella colonna [b][color=#0000ff]A[/color][/b] tutte le [math]\large{x}[/math] sono pronte, possiamo trascinare il solito quadratino blu e compilare tutta la tabella.](https://beta.geogebra.org/resource/twaes28k/UDkyyJermC34bZ7b/material-twaes28k.png)
COMPILA LA TABELLA SEGUENDO LE ISTRUZIONI ED OSSERVA IL COMPORTAMENTO CHE SI DELINEA SUL GRAFICO
ANALIZZIAMO L'ANDAMENTO CHE SI VEDE NELLA TABELLA E SUL GRAFICO
Partendo da ed aumentando otteniamo risultati sempre più vicini a 1. Puoi vederlo cliccando sulla cella C2: il corrispondente punto sul grafico verrà evidenziato, e se scendi lungo la tabella passando alla cella C3 e così via vedrai sul grafico il comportamento corrispondente.
Questo risultato si riassume dicendo che tanto più le assumono valori vicini a , quanto più le danno risultati vicini a . Questo "assumere valori vicini" e "dare risultati vicini" si esprime con il termine matematico tendere (approaching, in Inglese). Quindi diremo che quando tende a , la corrispondente tende ad .
Il simbolo del "tendere" è una freccia, quindi possiamo simbolicamente dire che quando abbiamo che . Tutto questo si combina ed unisce nel concetto di limite, per cui diremo che il limite di quando vale . In simboli si usa la scrittura riportata sotto, dove al posto di si mette di solito l'espressione che permette di calcolarla:
E quando ?!?
Avrai forse fatto caso al fatto che la tabella restituisce il valore nella riga corrispondente al valore vietato .
Come?!? Dopo tanti anni a sudare sulle condizioni di esistenza alla fine è tutto falso e non servono a niente?!?
Ovviamente no. Geogebra, come tutti i fogli di calcolo, compie talvolta delle approssimazioni, per cui il valore della in quella riga non è zero, ma qualcosa di estremamente simile (tipo che viene "sintetizzato" con il famigerato numero vietato. Se però vai nella cella corrispondente (che dovrebbe essere la A12) e inserisci a mano 0, vedrai che tutto torna a posto.
UN ALTRO ESEMPIO SIGNIFICATIVO
Proseguiamo studiando la nostra funzione nell'altro suo valore vietato,
L'applet qui sotto si concentra sulla zona dell'asse "vicino" al valore di interesse, che è marcato da una linea rossa a sottolineare che la funzione NON potrà assumere questo valore.
Compila la tabella seguendo il procedimento visto prima e studia i risultati della funzione per , ... fino a .
Osserviamo anche in questo caso l'andamento che si delinea. La prima cosa che notiamo è che abbiamo due comportamenti diversi per le "prima" di , cioè quelle più piccole di quel valore, e quelle "dopo" o più grandi. Vediamo un caso alla volta.
Risultati per le più piccole di
Partendo da ed aumentando otteniamo risultati sempre grandi. Possiamo dedurre che considerando valori della ancora più simili a , ad esempio , otterremo risultati ancora maggiori. Dato che possiamo avvicinarci senza limiti al valore senza raggiungerlo (ad esempio considerando , poi etc.), otterremo risultati illimitatamente grandi. Il risultato a cui tendono le non è quindi un numero, ma una quantità indefinita ed illimitatamente grande. Una quantità di questo tipo viene rappresentata in matematica dal simbolo di infinito, cioè . In particolare in questo caso il risultato si avvicinerà a .
Abbiamo quindi che quando la tende a , la corrispondente tende a .
ATTENZIONE! In questo caso il comportamento riguarda solo l'avvicinamento quando le si avvicinano attraverso valori MINORI di : osservando il grafico puoi intuire che quando ci avviciniamo considerando valori MAGGIORI la tenderà a . Bisogna quindi distinguere i due casi, e lo si fa definendo i concetti di limite destro e limite sinistro.
In questo momento ci stiamo avvicinando a considerando numeri più piccoli, stiamo considerando quindi punti che sul piano sono alla sinistra del valore in esame. Si parla quindi di limite sinistro, e l'avvicinamento di questo tipo è rappresentato dalla scrittura , dove il segno "ad esponente" indica appunto che stiamo considerando valori MINORI di . Il risultato che abbiamo ottenuto si sintetizza quindi nella scrittura
Risultati per le più grandi di
Osservando la tabella ed grafico, possiamo ragionare per analogia a quanto appena detto e definire il limite sinistro, cioè per , della funzione, osservando che quando la tende a , la corrispondente tende a .
DUE NOTE PER CONCLUDERE
Abbiamo visto in quest'ultimo esempio che la nostra funzione quando ha due comportamenti diversi a seconda che la si avvicini da destra o da sinistra. La funzione quindi non ha un comportamento unico vicino a , non tende ad un unico valore. Per questo motivo diciamo che in questo caso esistono il limite destro ed il limite sinistro, ma poiché essi tendono a due valori diversi NON esiste il limite globale della funzione per .
La seconda annotazione riguarda il fatto che puoi tornare all'ultima applet che abbiamo utilizzato ed inserire l'espressione della funzione y=x/(x-x^2) nella barra di inserimento in basso, che te ne mostrerà il grafico e confermerà l'andamento che ci ha fatto intuire il limite.