Normalprojektion und Flächeninhalt
Im folgenden Applet wird die Normalprojektion des Vektors auf betrachtet.
Vergleiche die Skalarprodukte und miteinander.
(Bewege die Spitze von .)
Aufgabe 1a
Warum haben die beiden Skalarprodukte den gleichen Wert, wenn der Winkel zwischen und a) 0° oder 180°, b) 90° beträgt?
Aufgabe 1b
Um die Gleichheit der beiden Skalarprodukte für alle anderen Winkel zu beweisen, betrachten wir den Vektor , der die Spitzen von und verbindet. (1) Drücke durch und aus. (2) steht auf normal. Wende die Orthogonalitätsbedingung an und löse sie nach auf.
Die gleichen Überlegungen gelten, wenn man auf projiziert.
Damit ist Folgendes bewiesen:
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist gleich dem Skalarprodukt des einen und der Normalprojektion des anderen Vektors.
.
Das Skalarprodukt ist positiv, wenn und (bzw. und ) gleich orientiert sind und negativ, wenn sie entgegengesetzt orientiert sind.
Das Vorzeichen hängt also davon ab, ob und einen spitzen oder einen stumpfen Winkel einschließen.
Für die Beträge gilt dann:
Außerdem gilt: , weil und parallel sind.
Daraus folgt: und somit:
.
Aufgabe 2
Berechne die Beträge der Normalprojektionen von auf und von auf :
Aufgabe 3
Gegeben ist das Parallelogramm PQRS: P = (-4 | 2), Q = (2 | 1), S = (-1 | 5). Berechne die Höhe und den Flächeninhalt A. Bestimme der Reihe nach (Bezeichnungen wie im Applet): (1) ; (2) ; (3) ; (4) A.
Da gilt, kann die Formel für den Flächeninhalt vereinfacht werden:
.
Für und erhält man .
Für den Flächeninhalt A eines Parallelogramms, das von den Seitenvektoren und aufgespannt wird, gilt also:
.
Anmerkung:
Der Ausdruck zwischen den Betragsstrichen wird als Determinante der Matrix bezeichnet:
.
Das Vorzeichen der Determinante gibt den Umlaufsinn (postiv: gegen den Uhrzeigersinn; negativ: im Uhrzeigersinn) des Parallelogramms an.