Rechnen mit komplexen Zahlen

Da die Behandlung der komplexen Zahlen in der Schule meist völlig fehlt, werden wir die nötige Zahlbereichserweiterung hier durchführen. Dazu gehören auch Regeln, wie mit diesen Zahlen umgegangen wird. Das Applet beschäftigt sich daher mit den grundlegenden Rechenoperationen und deren geometrischen Interpretationen.

Wir suchen zunächst eine Zahl, deren Quadrat -1 ist. Auf der Zahlengeraden finden wir solch eine Zahl nicht, da das Quadrat jeder positiven Zahl positiv ist. Auch das Quadrat jeder negativen Zahl ist positiv. Somit müssen wir den Zahlenstrahl verlassen. Man hat daher den Zahlenstrahl in die Ebene erweitert. Dort verwenden wir zur Orientierung das uns bekannte kartesische Koordinatensystem. Zusätzlich hat man die imaginäre Einheit eingeführt. Zur Definition dieser neuen Zahl verlangt man, dass ist. Im Koordinatensystem hat man den Ort der imaginären Einheit auf den Punkt P(0|1) festgelegt. Damit liegen alle Vielfachen von auf der y-Achse, alle Vielfachen der 1 liegen auf der x-Achse, die damit den bisher bekannten Zahlenstrahl bildet. Eine komplexe Zahl ist dann diejenige Zahl, der genau ein Punkt der Ebene zugeordnet wird. Man könnte nun schlicht die Zahlenpaare aus oder schlicht zur Kennzeichnung einer komplexen Zahl verwenden, wobei und reelle Zahlen sind. Damit wäre es aber schwieriger, sinnvolle Rechenoperationen zu definieren. Man schreibt daher besser oder . Das behindert die Darstellung nicht und wir werden sehen, dass sich mit dieser Schreibweise die Rechenoperationen sinnvoll nachvollziehen lassen. Bevor wir damit beginnen, benötigen wir jedoch noch ein paar Begriffe Begriffe: die Zahl heißt Realteil von , wir schreiben oder in Frakturschrift . Die Zahl heißt entsprechend Imaginärteil, also oder . Im Applet habe ich die Frakturschreibweise gewählt, da sie weniger breit ist und damit weniger Platz benötigt. Ich habe zudem auf die Bezugsklammer verzichtet und die Zugehörigkeit zu einer Zahl lediglich mit einem Index verdeutlicht. Die Länge eines Vektorpfeils im Koordinatensystem heißt Betrag der komplexen Zahl . Zudem bildet der Pfeil mit der positiven reellen Richtung einen Winkel mit . Wenden wir uns nun dem Rechnen mit komplexen Zahlen zu: Addition: Haken Sie das Feld an. Sie werden sehen, dass die Summe aus und der Ausdruck ist. Ziehen Sie die Punkte an andere Orte, dann wird deutlich, dass für zwei komplexe Zahlen und die Summe ist. Die Addition erfolgt also bei komplexen Zahlen ebenso wie bei Vektoren. Daher kann man jeder Zahl auch einen Ortsvektor zuordnen und die Hintereinanderausführung von Verschiebungen durch eine Addition komplexer Zahlen darstellen. Gegenzahl einer Zahl: In den komplexen Zahlen soll auch die Subtraktion vollständig ausführbar sein. Daher benötigen wir zu jeder Zahl ihre Gegenzahl. Wenn wir verlangen, dass die Gegenzahl in der Ebene durch Punktspiegelung am Ursprung entsteht, dann bedeutet das formal, die beiden Koordinaten jeweils mit zu multiplizieren. Die Gegenzahl einer Zahl ist also . Subtraktion zweier Zahlen: Die Subtraktion können wir auf zweierlei Weise auffassen: Einerseits können wir sie auf die Addition zurückführen, dann ist . Wir erhalten andererseits das gleiche Ergebnis, wenn wir die Subtraktion als Bildung des Differenzvektors aus den beiden Ortsvektoren verstehen. Damit erfolgen Addition und Subtraktion schlicht durch Anwendung der Operationen jeweils auf den Real- und den Imaginärteil. Multiplikation: Wir werden hier keine einfache Regel finden. Die Multiplikation wird jedoch einfach formal durch Ausmultiplizieren, wie es aus den anderen Zahlbereichen bekannt ist, durchgeführt. Dabei ist lediglich zu beachten, dass ist. Wir erhalten . Man wird sich das Ergebnis nicht merken wollen. In der Praxis ist die mehrfache Anwendung des Distributivgesetzes einfacher. Weitaus interessanter und auch wichtiger ist hier die geometrische Deutung: Im Applet werden Sie durch Ziehen der Punkte vielleicht noch nicht viel entdecken. Sehen wir uns den Betrag des Produktes an. Sein Quadrat ist

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Also ist der Betrag des Produktes gleich dem Produkt der Beträge. Zur Betrachtung der Winkel:

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Somit ist der Winkel des Produkts gleich der Winkelsumme der Faktoren. Geometrisch bedeutet die Multiplikation mit einer komplexen Zahl eine Drehstreckung. Insbesondere beschreibt die Multiplikation mit ener rein reellen Zahl eine Streckung, wobei der Ursprung das Streckzentrum ist. Eine reine Drehung erhält man hingegen, wenn man mit einer Zahl, deren Betrag eins ist, multipliziert. Eine solche Zahl ist beispielsweise . Ihr Betrag ist 1 und der Winkel . Also erreicht man mit dieser Zahl genau eine Drehung um den Winkel . Der Kehrwert einer Zahl: Bei komplexen Zahlen ist man immer bemüht, die imaginäre Einheit im Nenner eines Bruches zu vermeiden. Beim Ausdruck geschieht aber genau das. Wir führen daher Umformungen durch, die die gleiche Zahl als Summe aus einem Real- und einem Imaginärteil darstellen wird. Es ist . Die verkürzte Schreibweise heißt Konjugierte der Zahl . Man schreibt auch . Geometrisch stellt die Konjunktion eine Spiegelung an der reellen Achse dar. Division: Die Division werden wir hier auf die Multiplikation zurückführen. Der Quotient ist daher . Damit gilt nebenbei für jede komplexe Zahl auch . Wurzel aus einer komplexen Zahl: Für die Wurzel aus einer Zahl muss gelten. Sei also . Dann ist . Die Zahl, aus der wir die Wurzel ziehen möchten, hat also die Form mit und . Die letzten beiden Gleichungen bilden ein nichtlineares System in und . Dieses hat vier Lösungen, von denen eine das Paar aus und ist. Die Wurzel ist damit . Diese Formel sieht sehr aufwändig aus. Testen wir sie daher am Beispiel der Wurzel aus -1: Der Realteil von -1 ist -1, der Betrag ist 1. Damit ist , was auch zu erwarten war. Die natürliche Exponentialfunktion: Das Beste zum Schluss! Sie werden hier einen bedeutsamen Zusammenhang kennenlernen, der beispielweise in der Schwingungslehre oder in der Elektrotechnik eine ganz wesentliche Rolle spielt. Aber schauen wir uns den Term an. Eine formale Rückführung auf andere Rechenarten ist hier nicht so leicht möglich. Wir können lediglich aufschreiben und uns lediglich dem zweiten Faktor zuwenden. Schauen Sie sich im Applet für die Exponentialfunktion das Verhalten des Ergebnisses an: Ziehen Sie den Punkt entlang der reellen Achse, so sehen Sie, dass der Punkt erwartungsgemäß auch auf der reellen Achse beim entsprechenden Ergebnis der Exponentialfunktion liegt. Ganz etwas anderes passiert beim Ziehen entlang der imaginären Achse, wenn GeoGebra den Term auswerten muss: Der Ergebnispunkt wandert im positiven Drehsinn im Abstand 1 um den Ursprung. Hat das etwa etwas mit der Drehung zu tun? Wir werden sehen. Wenn eine formale Umformung nicht hilft, dann vielleicht die Taylorreihen aus dem vorigen Kapitel? Setzen wir in die Funktionen mit der Gleichung für den Term und bei und für den Term ein, so erhalten wir

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Real- und Imaginärteil in der Reihe für die Exponentialfunktion haben wir durch Anwendung der Definition der imaginären Einheit sowie ein Sortieren der Summanden erhalten. Man sieht sofort, dass der Realteil gleich dem Kosinus und der Imaginärteil gleich dem Sinus ist. Wir können also tatsächlich behaupten, dass

ist. Das ist ein bemerkenswertes Ergebnis, stellt es doch einen direkten Zusammenhang zwischen der Eulerschen Zahl Eulerschen Zahl und der Kreiszahl her. Setzen wir für nämlich ein, ergibt sich . Das aber nur nebenbei. An folgendem Beispiel wird deutlich, welche Bedeutung die Gleichung haben kann: Ein Fadenpendel kann sowohl zur Seite, als auch orthogonal dazu ausgelenkt werden. Für kleine Auslenkungen und unter Vernachlässigung der Reibung ist die allgemeine Beschreibung der Auslenkung in Abhängigkeit von der Zeit (um eine Herleitung kümmern wir uns im Kapitel Differentialgleichungen). Der Parameter ist dabei eine Eigenschaft des Pendels, und werden davon bestimmt, wie das Pendel zum Zeitpunkt gestartet wird. Die Geschwindigkeit wird dann durch beschrieben. Stellen wir uns nun vor, dass wir zum Start das Pendel um in Richtung der reellen Achse auslenken und in Richtung der imaginären Achse anstoßen, so dass es mit einer Geschwindigkeit startet. Für t=0 entsteht so das Gleichungssystem . Die Lösung dieses Systems ist das Paar aus und . Im folgenden Applet finden Sie die daraus folgende Bewegungsgleichung. Variieren Sie die Parameter und beobachten das Verhalten der drei Graphen. Durch Ziehen des Punktes auf der reellen Achse ändern Sie den aktuellen Zeitpunkt . Der Vektorpfeil zeigt dann zu dem Punkt, der durch die komplexe Zahl beschrieben wird.

Betrachten wir zwei Spezialfälle: Beim ersten sei , d.h. wir lenken das Pendel nur um r aus und lassen es los. Im zweiten Fall starten wir es zusätzlich in y-Richtung mit der Geschwindigkeit . Im ersten Fall erhalten wir . Das ist nichts anderes als das Weg-Zeit-Gesetz für die harmonische Schwingung. Im zweiten Fall ist . Das ist eine Kreisbewegung in ihrer Beschreibung durch komplexe Zahlen. Das haben wir nur durch Parametervariation erreicht! Den umlaufenden Vektorpfeil nennt man in dem Fall auch Zeiger. Oft werden auch Schwingungen, für die ja der Realteil genügt, Mithilfe von Zeigern beschrieben. Dann ist die Zeigerlänge die Amplitude und der mit der x-Achse eingeschlossene Winkel entspricht dem Argument der Sinusfunktion. Wir werden die Zeigerdarstellung neben den komplexen Zahlen im nächsten Abschnitt nutzen.