Semelhança

No dia a dia, usamos a palavra semelhante quando queremos dizer que duas coisas são parecidas. Matematicamente a palavra semelhança tem um significado um pouco mais restrito. Por exemplo, ao ver a imagem de sua série favorita na TV, imediatamente você reconhece a fisionomia de seus personagens, mesmo que a imagem seja bem menor do que o seu tamanho real. O mesmo acontece com uma foto ou a imagem vista na tela do cinema. Sem grandes formalidades, podemos dizer que duas figuras são semelhantes quando possuem a mesma forma sem possuírem necessariamente o mesmo tamanho.

Em dois, dos três exemplos acima, você percebeu que apesar de reduzirmos ou ampliarmos as figuras, elas mantiveram a mesma forma e essa observação foi o suficiente para às considerarmos semelhantes. No entanto, o termo "manter a forma" é um pouco vago, de modo que necessitamos de um critério mais preciso para identificar se duas figuras são ou não semelhantes. Observe a construção abaixo. Se olharmos despretenciosamente para a figura abaixo, teremos a ideia falsa de que elas apresentam apenas tamanhos diferentes, no entanto é possível notar que as duas garrafas não guardam as mesmas proporções, logo chegamos a conclusão de que é necessário termos uma maneira mais precisa para averiguar se as proporções entre elas são mantidas.

Na construção abaixo o controle deslizante R altera o tamanho da Figura I sem alterar sua forma, que é a mesma forma da Figura II. Escolha um valor fixo para R e movimente os pontos G e H dentro da Figura II. Observe o que acontece com a razão entre os comprimentos dos segmentos GH e G'H' e compare o valor desta razão com o valor que você escolheu para R.

Com base no que você observou, agora podemos formalizar um pouco mais o conceito de semelhança. Podemos então dizer que, duas figuras serão semelhantes quando houver uma correspondência entre os pontos de uma e os pontos da outra, de modo que quaisquer pontos G e H da figura I e seus correspondentes G' e H' da figura II apresentam a razão G'H'/GH constante.

Com base no polígono apresentado na construção acima, preencha, na tabela abaixo, as medidas dos segmentos azul e verde para os valores correspondentes de r, e depois com o auxílio da calculadora, forneça o valor da razão entre eles. O que você observou sobre essa razão?