E 01 Az elliptikus síkgeometria gömb-modellje
Mi az az elliptikus geometria?
Itt volt szó az abszolut geometria, ezen belül a hiperbolikus geometria axióma rendszeréről.
Többek között beláttuk, hogy az abszolut geometria eszköztárával igazolható, hogy vannak a síkban egymást nem metsző egyenesek.
Mint említettük, arra a kérdésre, hogy hány olyan egyenes van egy pont és rá nem illeszkedő egyenes síkjában, amely illeszkedik az adott pontra, és nem metszi az adott egyenest, adhatunk olyan választ is, miszerint egy sincs, azaz:
- A sík bármely két pontjára pontosan egy egyenes, és bármely két egyenesére pontosan egy pont illeszkedik.
- Az egyenes zárt vonal, amelyet két pontja - mondjuk A és B - az egyenes velük nem egybeeső pontjait két osztályba sorolja, ahol A és B, valamint e két osztályba tartozó egy-egy pont elválasztó pontnégyest alkot.
Két pont az E-sík gömb-modelljén
Az imént említett hiányosságot ki tudjuk küszöbölni úgy, hogy a gömbi geometria - jelen esetben a már megismert - G-modell átellenes (un. antipodális) objektumait azonosnak tekintjük.
Bár tudjuk, hogy az egész matematika absztrakciók sorozata, a fenti kijelentésből sokkal szokatlanabb, erősebb absztrakciót igénylő összefüggések következnek, mint amikkel euklideszi, vagy a hiperbolikus geometria megismerése során találkozhattunk.
Az alábbi appletre tekintsünk úgy, hogy tudunk arról, hogy a gömb felület minden pontja és bármilyen más objektuma azonos az átellenes objektumával. Ugyanakkor nem látjuk, ugyanis - szándékosan -kikapcsoltuk a gömb áttetszőségét, így mindig pontosan egy félgömbfelületet látunk.
Legyen adott az E-sík két pontja A és B . Ha úgy fordítjuk a gömböt, hogy ezek egyike, vagy mindkettő a nem látható félgömbre kerül, akkor máris megjelenik az antipodálisa.
- Két E-pont a rájuk illeszkedő E-egyenest két részre osztja, az egy-egy részhez tartozó részt E-szakaszoknak nevezünk.
- Az egyenes véges hosszú, mértéke az egyenesszög.
Két pont az elliptikus sík gömbmodelljén
Szakasz, tükörtengely, kör
Az A és B pont által meghatározott szakaszokat a fenti appletben színük alapján különböztettük meg.
Tegyük láthatóvá a két E_szakasz felező merőlegeseit is. Ezek merőlegesen metszik egymást az AB E-egyenes pólusában. Addig, amíg a G-modellem egy G-egyeneshez két G-pólus tartozott, és két anipodális pontnak egy polárisa volt, itt ez az ellentmondás feloldódott: Minden E-egyenesnek pontosan egy pólusa van, és ez a hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű.
Ugyanez igaz az E-sík köreire is: Bármely E-körnek egy E-középpontja van. A sugara legfeljebb kvadrátnyi lehet.
A fenti appletet vizsgálva előfordulhat, hogy egy kör helyett egy körívet, és a nem látható résznek az antipodális (átellenes) ívét látjuk., bár tudjuk, hogy ez ugyanaz a kör. Animációval mutatjuk be, hogy egy M pont körbefut az adott körön. A nézőpontunktól függ, hogy ezt a körforgást pozitív, vagy negatív irányúnak látjuk-e.
Bár nem tartozik szorosan a témánkhoz, de az euklideszi eszközökkel is csak az igazolható , hogy az euklideszi sík és tér irányítható: megkülönböztethető két irány, de az, hogy azt nevezzük pozitívnak, amelyik az "óramutató járásával ellentétes", az a matematikán kívüli megállapodás. Ugyanígy relatív az euklideszi távolság-fogalom is.
Most vegyük szemügyre ismét az itt megismert appletet. A különbség "mindössze" annyi, hogy a kapott alakzatok áttetszősége megszűnt, az egymással átellenes (antipodális) pontokat ugyanazzal a betűvel, az átellenes háromszögeket ugyanazzal a színnel jelöltük.
Az A,B,C pontok mozgatásakor továbbra is kikapcsoltuk a háromszöglapok láthatóságát.
Három pont az elliptikus sík gömbmodelljén
A modell minden háromszögének ugyanaz az A, B, C ponthármas a csúcsa.
- Az E-sík háromszögének nevezzük a három nem kollineáris pontból, és az ezekre illeszkedő három E-egyenesből álló geometriai alakzatot.
- Az E-sík nem irányítható felület.
- Egy E-egyenes nem választja el a rá nem illeszkedő pontokat, két E-egyenes azonban már igen.
- Az E-sík három általános helyzetű pontja négy háromszöglapot határoz meg.
- Az E-sík minden P és Q pontja, amely nem illeszkedik az általuk meghatározott három E-egyenesre, akkor tartozik ugyanahhoz a háromszöglaphoz, ha az általuk meghatározott egyik szakasznak nincs közös pontja a három E-egyenes egyikével sem.