Dreieckssehne

Roth, J. (2005). Kurvenerzeugende Sehnen. Mathematik lehren 130, S. 8-10

In ein gleichseitiges Dreieck ΔABC ist eine Sehne s eingezeichnet. Hält man einen Endpunkt der Sehne fest (wir entscheiden uns für den Punkt P) und bewegt den anderen Endpunkt Q gleichmäßig entlang der Berandungslinie des Dreiecks, so ändert sich die Länge der Sehne. Bei der Bewegung des Endpunktes Q der Sehne auf der Kreislinie ändert sich ihre Länge.
  1. Wann ist die Länge der Sehne s am größten und wann am kleinsten?
  2. Versuche zu beschreiben, in welchen Phasen der Bewegung des Endpunktes Q auf der Berandungslinie des Dreiecks die Änderung der Streckenlänge langsamer bzw. schneller erfolgt. Hinweis: Denke an das Gummibandmodell!
  3. Klicke nur dann auf Sehne, wenn du wirklich nicht weiterkommst oder wenn du deine Überlegungen überprüfen willst.
  4. Klicke auf Graph (Weg / Sehnenlänge).
    • Über dem Weg, den der Punkt Q von A aus bereits auf der Berandungslinie des Dreiecks zurückgelegt hat, ist nach oben die aktuelle Länge der Sehne s als Balken aufgetragen. Ziehe am Punkt Q und beobachte dabei die Veränderung des roten Balkens.
    • Lasse nun den Graph ausgeben, indem du auf Kurve klickst.
    • Versuche, die Form bzw. den Verlauf des Graphen am Hand der Figur zu erklären.
  5. Wie ändert sich der Verlauf des Graphen, wenn man am anderen Endpunkt P der Sehne s zieht? (Bitte überlege dir das bevor du tatsächlich ziehst.)  
  6. Welchen Einfluss hat die Größe gegen die die Länge der Strecke aufgetragen wird? Klicken auf Mittelpunktswinkel liefert als Kontrastbeispiel einen Graphen, in dem die Länge der Sehne s gegen die Größe des Mittelpunktswinkels μ aufgetragen ist. Kannst du dir den anderen Verlauf dieses Graphen erklären? Betrachtet man die Ausgangskonfiguration in der Figur, so lässt sich das erklären. Der Grund ist, dass die gleichmäßige Bewegung von Q nicht in eine gleichmäßige Änderung der Winkelgröße von μ umgesetzt wird. Mit Hilfe des Zirkelmodells macht man sich klar, dass es Bewegungssituationen des Punktes Q auf der Berandungslinie des Dreiecks gibt, für die die Änderung der Winkelgröße von μ größer und andere für die sie kleiner ist, obwohl die Bahngeschwindigkeit von Q konstant ist. So ändert sich beispielsweise die Winkelgröße von μ am stärksten, wenn Q sich gerade in der Mitte der Strecke [AB] bewegt, weil die Bewegung von Q dabei senkrecht zur aktuellen "Schenkelrichtung" des zweiten Schenkels von μ erfolgt. Würde der Punkt Q nicht auf der Dreiecksperipherie sondern auf der Kreislinie des Umkreises des Dreiecks bewegt, so würde die gleichmäßige Bewegung des Punktes Q auch eine gleichmäßige Vergrößerung des Winkels μ bewirken, da die Bewegungsrichtung in diesem Fall immer senkrecht auf dem jeweiligen Radius steht.  
  7. (Erst ab Klasse 9 lösbar.) Welche Kurve stellt die Ortslinie dar? Kannst du den Funktionsterm herleiten? Wenn du nicht weiter kommst, kannst du auf Hilfen zur Herleitung der Funktionsgleichung klicken.