Izogonális pont (25.)

A probléma

Adjuk meg egy háromszög síkjában azt a pontot, melynek a háromszög csúcsaitól mért távolságösszege minimális.

Keressünk sejtést!

Sejtés:

Ha a háromszög szögei kisebbek 120o-nál, a keresett pontból a háromszög oldalai egyenlő szög alatt látszanak. (izogonális pont) Ha a háromszögnek van 120o-nál nem nagyobb szöge, akkor a keresett pont a 120o-os szög csúcsa. A 120o miatt próbálkozzunk 60o-os elforgatással.

Bizonyítás

A bizonyításban felhasználtuk, hogy bármely szabályos háromszög szögei 60o-osak. Mint láttuk, ez a nemeuklideszi geometriák nem így van. Ezért érdemes vizsgálódni a modelljeinkben,

Mi van a hiperbolikus geometriában?

És a gömbi geometriában?

Na most mi van?

Izogonális pont, csak a kerekítések miatt vannak eltérések? Nem izogonális pont?