Izogonális pont (25.)
A probléma
Adjuk meg egy háromszög síkjában azt a pontot, melynek a háromszög csúcsaitól mért távolságösszege minimális.
Keressünk sejtést!
Sejtés:
Ha a háromszög szögei kisebbek 120o-nál, a keresett pontból a háromszög oldalai egyenlő szög alatt látszanak. (izogonális pont)
Ha a háromszögnek van 120o-nál nem nagyobb szöge, akkor a keresett pont a 120o-os szög csúcsa.
A 120o miatt próbálkozzunk 60o-os elforgatással.
Bizonyítás
A bizonyításban felhasználtuk, hogy bármely szabályos háromszög szögei 60o-osak. Mint láttuk, ez a nemeuklideszi geometriák nem így van. Ezért érdemes vizsgálódni a modelljeinkben,
Mi van a hiperbolikus geometriában?
És a gömbi geometriában?
Na most mi van?
Izogonális pont, csak a kerekítések miatt vannak eltérések?
Nem izogonális pont?